de augmenté de l’unité. Cela fait, on dispose une règle de manière qu’elle passe par le centre de deux cases qui renferment des termes de l’équation, en remplissant la condition de laisser au-dessous tous les termes qui ne sont pas sur sa direction. Maintenant, si dans l’équation on suppose tous les termes placés sur la direction de la règle renfermeront les plus hautes puissances de et ces puissances seront les mêmes pour chacun d’eux. En égalant leurs exposants, on aura la valeur de l’exposant indéterminé en égalant la somme de leurs coefficients à zéro, on aura la valeur de
Le terme est le premier terme de la série descendante en on aura le second terme en supposant dans l’équation égal à plus une nouvelle variable dont on déterminera, par la même méthode, le premier terme de son expression, en ayant soin d’observer que doit être moindre que En continuant ainsi, on aura les différents termes de l’expression de Souvent, après un certain nombre de termes, la loi des exposants se manifeste, et alors il suffit de donner, aux termes de la série, des coefficients arbitraires que l’on détermine aisément en substituant cette série au lieu de dans l’équation proposée, et en comparant les puissances semblables de
Si la règle peut prendre deux ou un plus grand nombre de positions différentes, de manière à remplir les conditions dont nous avons parlé, on aura, pour l’expression de autant de séries différentes qui donneront les diverses branches infinies de la courbe ; mais la courbe n’aura aucune branche infinie si toutes ces séries sont imaginaires, et alors on sera sur qu’elle ne s’étend point au delà de certaines limites.
Il est facile de conclure de ce qui précède que les branches infinies d’une courbe sont toujours en nombre pair, et que, si le degré de son équation est impair, elle a au moins deux branches infinies.
S’il est intéressant de suivre la courbe dans ses branches infinies, il ne l’est pas moins de la considérer à sa naissance, et d’avoir la courbe la plus simple qui, dans ces points, coïncide avec elle. Pour cela, il faut ordonner l’expression de en série par rapport aux puissances ascendantes de Le parallélogramme de Newton offre encore un
