Chaque ordre présente, à mesure qu’il s’élève, une grande variété de figures. Quelquefois la courbe ne s’étend que jusqu’à certaines limites, au delà desquelles les ordonnées ou les abscisses deviennent imaginaires ; ainsi, dans l’équation du cercle l’une des coordonnées étant imaginaire quand l’autre surpasse la courbe est renfermée tout entière dans un carré dont le côté est Dans d’autres cas, la courbe étend à l’infini plusieurs branches dont le nombre et la nature sont le caractère le plus propre à distinguer les ordres en genres. Les branches infinies des courbes approchent sans cesse d’une courbe beaucoup plus simple qui lui sert d’asymptote, et dont elle finit par s’éloigner moins que d’aucune quantité donnée. Cette propriété des courbes est commune à toutes les suites infinies des grandeurs qui dépendent les unes des autres. La détermination des lois qui leur servent de limites est un des objets les plus intéressants de l’Analyse. Voici comme on y est parvenu relativement aux branches infinies des courbes.
Si l’on conçoit l’expression de l’ordonnée de la courbe, développée dans une suite ordonnée par rapport aux puissances descendantes de l’abscisse il est clair que les termes qui renferment les puissances négatives de seront d’autant moindres que cette abscisse sera plus grande et qu’ils parviendront à être plus petits qu’aucune grandeur donnée. La courbe approchera donc sans cesse de celle qui est exprimée par l’expression de lorsque l’on n’a égard qu’aux termes précédents de la série, et cette seconde courbe sera l’asymptote de la première. Tout se réduit donc à former la courbe dont nous venons de parler, ce qui, dans plusieurs cas, présente des difficultés. Newton a imaginé un procédé ingénieux pour les résoudre. Il consiste à partager un parallélogramme en cases égales par des lignes menées parallèlement à ses côtés. En supposant l’un d’eux horizontal et l’autre vertical, on place chaque terme de l’équation proposée dans la colonne verticale dont le rang, à partir du concours des deux côtés, est égal à l’exposant de ce, augmenté de l’unité : on le place en même temps dans la colonne horizontale dont le rang, à partir du même point, est indiqué par l’exposant
