brassant l’univers, dévoilons à nos yeux ses états passés et à venir : alors la vue de ce sublime spectacle nous fait éprouver le plus noble des plaisirs réservés à la nature humaine.
Considérons d’abord les lignes courbes. Elles sont algébriques ou transcendantes suivant la nature de l’équation qui les exprime ; mais, dans tous ces cas, on peut les considérer comme l’intersection de deux surfaces représentées chacune par une équation entre les trois coordonnées et Si l’on élimine de ces équations une des coordonnées, par exemple, on aura une équation entre et qui sera celle de la projection de la courbe sur le plan des et des En éliminant au lieu de on aura une équation entre et qui sera celle de la projection de la courbe sur le plan des et des enfin, si l’on élimine on aura une équation entre et qui sera celle de la projection de la courbe sur le plan des et des Mais il est visible que, deux de ces projections étant données, la troisième en est une suite nécessaire.
Quoique la considération des axes des coordonnées, perpendiculaires entre eux, soit la plus simple, cependant il est quelquefois utile de supposer que ces axes font entre eux des angles quelconques ; en changeant la position des axes, leur inclinaison mutuelle et leur origine, les nouvelles coordonnées parallèles à ces axes seront données en par des équations linéaires et réciproquement ; en sorte que le degré des équations qui déterminent les courbes ou les surfaces restera toujours le même. C’est sous ce point de vue général que nous envisageons les coordonnées.
La nature des courbes à double courbure dépend, comme on vient de le voir, de la nature des courbes situées dans un même plan. Celles-ci, quand elles sont rapportées à leur plan, ne dépendent que d’une seule équation ; lorsqu’elles sont algébriques, on les a distinguées en différents ordres relatifs au degré de l’équation dont elles dépendent.
On a nommé lignes du premier ordre celles dont l’équation, entre les coordonnées et est du premier degré, et la ligne droite est évidemment la seule de cet ordre. Les lignes du deuxième ordre sont celles dont l’équation est du deuxième degré, et ainsi de suite.
