Enfin, si l’on a trois équations entre les coordonnées, la position du point est déterminée ; et c’est sous ce point de vue que nous venons d’envisager l’application de l’Algèbre à la Géométrie.
Le premier objet de l’Analyse appliquée à la théorie des courbes et des surfaces est de former leurs équations d’après les conditions qui les déterminent. Par exemple, la circonférence étant une ligne dont tous les points sont également éloignés du centre, il est facile d’en conclure que, étant son rayon, une perpendiculaire abaissée d’un de ses points sur un diamètre, et la distance de cette perpendiculaire au centre, la condition dont il s’agit donne, pour l’équation du cercle,
Mais souvent ce problème présente de grandes difficultés dont la solution a fait naître des théories importantes. Ainsi, la considération des lignes et des surfaces, d’après la condition qu’elles embrassent, sous la même étendue, le plus petit espace, a produit le calcul des variations ; et les premiers éléments du calcul des différences partielles sont dus à la recherche des courbes qui coupent, un système donné d’autres courbes, à angles droits.
Quand les équations sont formées, on peut lire, dans leur développement, toutes les affections des surfaces et des lignes qu’elles expriment. On peut déterminer le cours de ces surfaces et de ces lignes dans l’espace, leurs branches infinies, leurs inflexions, leurs rebroussements, leurs contours, leurs nœuds et leur courbure, leur grandeur et celle des espaces qu’elles renferment, la position des plans et des lignes qui les touchent, leurs plus grandes et leurs plus petites ordonnées. Ce rapprochement de la Géométrie et de l’Algèbre répand un nouveau jour sur ces deux sciences ; les opérations intellectuelles de l’Analyse, rendues sensibles par les images de la Géométrie, sont plus faciles à saisir, plus intéressantes à suivre. Cette correspondance fait l’un des plus grands charmes attachés aux spéculations mathématiques, et, quand l’observation réalise ces images et transforme les résultats ma(hématiques en lois de la nature, quand ces lois, en em-
