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Supposons d’abord que le signe supérieur ait lieu et que $h,$ abstraction faite du signe, soit moindre que l’unité ; alors ${\frac {1}{4}}q^{2}-{\frac {1}{27}}p^{3}$ est une quanfité négative et l’équation proposée tombe dans le cas irréductible. Si l’on fait $z=\cos u+{\sqrt {-1}}\sin u,$ on aura

$x={\sqrt {\frac {p}{3}}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)=2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\cos u\,;$

on aura ensuite

$z^{3}+{\frac {1}{z^{3}}}=2\cos 3u\,;$

partant, $\cos 3u=h.$ Soit $\mathrm {A}$ le plus petit des angles dont le cosinus est $h,$ et que les Tables feront connaître ; on aura, pour $3u,$ les trois valeurs $\mathrm {A} ,\ 2c+\mathrm {A} ,$$4c+\mathrm {A} \,;$ et, par conséquent, les trois valeurs de $x$ seront

${\begin{aligned}x=&2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\cos {\frac {1}{3}}\mathrm {A} ,\\x=&2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\cos \left({\frac {2c+\mathrm {A} }{3}}\right),\\x=&2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\cos \left({\frac {4c+\mathrm {A} }{3}}\right).\end{aligned}}$

Remarquez bien ici l’usage des quantités imaginaires pour déterminer les quantités réelles ; la valeur de $z$ exprime le radical imaginaire dont la racine de l’équation du troisième degré est composée dans le cas irréductible ; mais, sous cette forme, on voit clairement que les imaginaires disparaissent de l’expression de $r\left(z+{\frac {1}{z}}\right),$ qui est égale à $x.$ Ainsi, la considération des quantités imaginaires qui embarrassaient beaucoup les premiers analystes est devenue, par leur comparaison avec l’expression $\cos x\pm {\sqrt {-1}}\sin x,$ facile et d’un grand usage dans l’Analyse, et vous aurez occasion d’en voir des applications nombreuses dans le Calcul infinitésimal.

Si $h,$ abstraction faite du signe, est plus grand que l’unité, on fera

$z^{3}=\operatorname {tang} u\,;$