Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 14.djvu/129

rence ; on aura donc, pour les deux valeurs de $x.$

$x={\sqrt {q}}\operatorname {tang} u,\qquad x={\sqrt {q}}\operatorname {tang} \left({\frac {c}{2}}-u\right).$

Si l’on a

$z-{\frac {1}{z}}={\frac {-p}{\sqrt {q}}},$

on fera encore $z=\operatorname {tang} u,$ ce qui donne

$z-{\frac {1}{z}}=-{\frac {2}{\operatorname {tang} 2u}}$

et, par conséquent,

$\operatorname {tang} 2u={\frac {2{\sqrt {q}}}{p}}.$

Les Tables des sinus feront connaître le plus petit des angles qui répondent à cette expression de $\operatorname {tang} 2u$ prise positivement ; cet angle, affecté du même signe que cette expression, sera la valeur de $2u.$ Mais à la tangente de $2u$ répondent les deux arcs $2u$ et $c+2u\,;$ on aura donc

$x={\sqrt {q}}\operatorname {tang} u,\qquad x={\sqrt {q}}\operatorname {tang} \left({\frac {c}{2}}+u\right).$

Considérons présentement l’équation du troisième degré

$x^{3}\mp px+q=0,$

$p$ étant positif. Supposons $x=r\left(z\pm {\frac {1}{z}}\right)\,;$ nous aurons

$x^{3}\mp px+q=r^{3}\left(z^{3}\pm {\frac {1}{z^{3}}}\right)\pm \left(3r^{3}-pr\right)\left(z\pm {\frac {1}{z}}\right)+q=0.$

Soit $r^{2}={\frac {1}{3}}p$ et $-{\sqrt {\frac {27q^{2}}{p^{3}}}}=2h,$ on aura

$z^{3}\pm {\frac {1}{z^{3}}}=2h.$

Cette équation en $z$ est du sixième degré, mais résoluble à la manière de celles du deuxième degré, ce qui donne un nouveau moyen de résoudre les équations du troisième degré.