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Soit $\mathrm {A}$ le plus petit des angles dont le sinus et le cosinus sont respectivement

${\frac {q}{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {p}{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}\,;$

la fonction précédente sera

$\left(p^{2}+q^{2}\right)^{\frac {1}{2n}}\left[\cos \left({\frac {2ic+\mathrm {A} }{n}}\right)+{\sqrt {-1}}\sin \left({\frac {2ic+\mathrm {A} }{n}}\right)\right],$

$i$ étant un nombre entier positif qui peut s’étendre depuis $i=0$ jusqu’à $i=n-1.$

Ainsi, toutes les racines des fonctions de la forme

$p+q{\sqrt {-1}}$

sont de la même forme, et l’on voit généralement que toute fonction algébrique d’une ou de plusieurs imaginaires de la forme

$p+q{\sqrt {-1}}$

est de la même forme et peut se déterminer par la méthode précédente.

Si $n$ est un nombre fractionnaire que nous représentons par ${\frac {h}{l}},$ l’angle ${\frac {2ic+\mathrm {A} }{n}}$ deviendra ${\frac {2ilc+\mathrm {A} l}{h}}\,;$ il reproduira donc les mêmes sinus et cosinus lorsque $i$ sera égal à $h\,;$ ainsi la racine $n$^ième n’a, dans ce cas, que $h$ valeurs différentes ; mais, si $n$ est irrationnel, alors elle a une infinité de valeurs ; car, $i$ et $i'$ étant deux nombres quelconques, la différence des deux angles

${\frac {2ic+\mathrm {A} }{n}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {2i'c+\mathrm {A} }{n}}$

ne peut jamais devenir un multiple de la circonférence ; les valeurs successives de $i$ ne finissent point par reproduire les mêmes sinus et cosinus. Nous verrons dans la suite que, si $n$ est imaginaire, et de la forme $p+q{\sqrt {-1}},$ les racines $n$^ièmes sont encore de la même forme.

Le cosinus de l’angle $nx$ étant donné, comme on l’a vu précédem-