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$2i$ étant successivement égal à $0,2,4,\ldots$ jusqu’à $n-2$ ou $n-1,$ suivant que $n$ est pair ou impair.

De là il est facile de conclure que $x^{n}-a^{n}$ est égal à la racine carrée du produit de $n$ facteurs que l’on obtient en donnant à $i$ toutes les valeurs, depuis $i=0$ jusqu’à $i=n-1,$ dans le trinôme

$x^{2}-2ax\cos {\frac {2ic}{n}}+a^{2}\,;$

et que $x^{n}+a^{n}$ est égal à la racine carrée du produit des $n$ facteurs que l’on obtient en donnant à $i$ toutes les valeurs, depuis $i=0$ jusqu’à $i=n-1,$ dans le trinôme

$x^{2}-2ax\cos {\frac {(2i+1)}{n}}c+a^{2}.$

Ce résultat est la traduction analytique de ce théorème de Côtes :

Si, dans un cercle, on mène un diamètre quelconque ; qu’à partir d’une des extrémités de ce diamètre, comme origine, on divise la circonférence dans le nombre $2n$ de parties égales, et que l’on désigne par les nombres $0,1,2,3,\ldots$ ces divisions, $0$ répondant à l’origine ; si d’un point fixe quelconque pris sur le diamètre ou sur son prolongement, et du même côté du centre que l’origine des arcs, on mène des droites aux divisions $0,1,2,\ldots \,;$ le produit de toutes les droites menées du point fixe aux nombres impairs est égal à la somme des puissances $n,$ du rayon et de la distance du point fixe au centre ; le produit de toutes les droites menées du point fixe aux nombres pairs $0,2,\ldots$ est égal à la différence des mêmes puissances. Si le point fixe est supposé de l’autre côté du centre, il suffit alors de considérer sa distance au centre comme étant négative.

Ce théorème, l’un des plus beaux que l’on ait trouvés en Géométrie, mérita à son auteur, qu’une mort prématurée enleva aux sciences, ce bel éloge de Newton : « Si Côtes eût vécu, nous saurions quelque chose. »

Ce grand géomètre ayant laissé sans démonstration son théorème,