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La formule précédente donne un moyen simple de décomposer en facteurs le binôme $x^{n}\pm a^{n}.$ Pour cela, supposons $x=ay,$ et considérons l’équation $y^{n}\pm 1=0.$ Si l’on y suppose

$y=\cos x\pm {\sqrt {-1}}\sin x,$

on aura

$\cos nx\pm {\sqrt {-1}}\sin nx=\mp 1,$

ce qui donne

$\cos nx=\mp 1.$

Si le signe $+$ a lieu, on a

$nx=2ic,$

$i$ étant zéro ou un nombre entier, et $c$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité ; on a donc alors

$y=\cos {\frac {2ic}{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2ic}{n}}\,;$

les facteurs de $y^{n}-1$ sont donc les diverses quantités que l’on obtient en faisant $2i$ égal à $0,2,4,\ldots$ jusqu’à $n$ ou $n-1,$ suivant que $n$ est pair ou impair, dans la fonction

$y=\cos {\frac {2ic}{n}}\mp {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2ic}{n}}\,;$

les valeurs ultérieures de $2i$ reproduisent les mêmes facteurs ; ainsi la fonction

$x-a\cos {\frac {2ic}{n}}\mp a{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2ic}{n}}$

représente les facteurs de $x^{n}-a^{n}.$

Si l’on a $\cos nx=-1,$ on aura

$nx=(2i+1)c$

et, dans ce cas, les facteurs de $x^{n}+a^{n}$ seront compris dans la forme

$x-a\cos {\frac {(2i+1)}{n}}c\pm a{\sqrt {-1}}\sin {\frac {(2i+1)}{n}}c,$