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l’on a généralement

$\left(\cos x\pm {\sqrt {-1}}\sin x\right)^{n}=\cos nx\pm {\sqrt {-1}}\sin nx.$

Cette formule, l’une des plus utiles de l’Analyse, a, comme celle du binôme, l’avantage de s’étendre aux valeurs de $n,$ entières et fractionnaires, positives et négatives, irrationnelles et même imaginaires.

Il est facile, au moyen de cette formule, de développer une fonction quelconque de sinus et de cosinus de l’angle $x$ en sinus et cosinus de ses multiples ; pour cela, il suffit de substituer dans cette fonction

${\frac {1}{2}}\left(\cos x+{\sqrt {-1}}\sin x\right)+{\frac {1}{2}}\left(\cos x-{\sqrt {-1}}\sin x\right)$

au lieu de $\cos x$ et

${\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\cos x+{\sqrt {-1}}\sin x\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\cos x-{\sqrt {-1}}\sin x\right),$

au lieu de $\sin x\,;$ et de développer ensuite la fonction par rapport aux puissances et aux produits de

$\left(\cos x+{\sqrt {-1}}\sin x\right)\quad {\text{et de}}\quad \left(\cos x-{\sqrt {-1}}\sin x\right).$

Ces puissances et ces produits se réduisent en sinus et cosinus de multiples de $x,$ en observant que le produit de

$\left(\cos x\pm {\sqrt {-1}}\sin x\right)^{i'}\quad {\text{par}}\quad \left(\cos x\mp {\sqrt {-1}}\sin x\right)^{i}$

est égal à

$\left[\cos(i'-i)x\pm {\sqrt {-1}}\sin(i'-i)x\right]\,;$

on aura ainsi les expressions connues des puissances des sinus, cosinus, tangentes, … d’un angle quelconque. Vous trouverez tous les développements que l’on peut désirer sur cet objet dans l’introduction à l’analyse des infiniment petits, par Euler, Ouvrage excellent, dont je vous recommanda la lecture, comme indispensable à tous ceux qui veulent faire des progrès dans l’Analyse.