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proportionnelles, en observant que, $f,a,b$ exprimant trois lignes, ${\frac {ab}{f}}$ est une quatrième proportionnelle à ces lignes. On aura donc ainsi une ligne $h$ égale à la somme de tous les termes du numérateur divisés par $f^{n-1}\,;$ on aura pareillement une ligne $l$ égale à la somme de tous les termes du dénominateur divisés par $f^{n-3}\,;$ la fraction proposée sera réduite à celle-ci, ${\frac {hf^{2}}{l}}$ ou à $pf,$ $p$ étant une quatrième proportionnelle aux lignes $l,h,f.$ La moyenne proportionnelle entre $p$ et $f$ sera le côté du carré égal à la fraction proposée.

On peut, en suivant ce procédé, déterminer en lignes, en surfaces et en solides les expressions d’une, de deux ou de trois dimensions qui renferment des radicaux carrés, et même des radicaux dont l’exposant est une puissance de deux. Ainsi la racine de toute équation du deuxième degré peut être construite au moyen du cercle et de la ligne droite, c’est-à-dire avec la règle et le compas ; mais le cercle et la ligne droite, ou deux cercles, ne pouvant se couper qu’en deux points, on ne peut pas, par leur moyen, construire les racines d’une équation du troisième degré ni des racines cubiques ; en sorte que la duplication du cube et la trisection de l’angle, problèmes fameux dans l’antiquité, sont impossibles avec la règle seule et le compas.

Le choix des inconnues n’est point indifférent dans les problèmes géométriques, et c’est de là que dépend principalement la simplicité de leurs solutions. La règle que nous avons donnée pour ce choix, dans les problèmes algébriques, peut encore servir ici. Lorsque deux ou plusieurs inconnues sont déterminées par une même équation, il ne faut pas choisir l’une d’elles pour inconnue principale ; on doit prendre pour cette inconnue une ligne qui ait un même rapport avec elles, telle que leur somme ou leur différence, ou une moyenne proportionnelle. L’équation que l’on obtient alors est moins composée que celle qui détermine les inconnues du problème ; elle en est une réduite plus facile à résoudre, et qui donne aisément les valeurs des inconnues. Supposons, par exemple, que la hauteur d’un triangle, sa base et la somme de ses deux côtés étant connues, on propose de déterminer