pentagones. En effet, les faces d’un polyèdre régulier devant être des polygones égaux, réguliers et également inclinés les uns aux autres, il est clair que ce polyèdre peut être circonscrit à une sphère dont le centre est au point de concours des perpendiculaires élevées du centre de chaque surface sur son plan. Si l’on conçoit des rayons menés de ce centre à tous les angles du polyèdre, ils marqueront sur la sphère les angles des polygones réguliers correspondant à chaque face ; il doit donc y avoir autant de corps réguliers qu’il y a de manières possibles de recouvrir une sphère avec des polygones égaux et réguliers.
Les polyèdres qui répondent à l’infinité des petits polygones réguliers, qui peuvent recouvrir la surface de la sphère, se confondent avec la sphère elle-même que l’on peut, sous ce point de vue, considérer comme un polyèdre régulier d’une infinité de faces.
La Trigonométrie sphérique a pour objet la détermination des angles et des côtés d’un triangle sphérique, quand on connaît trois de ces six quantités. Si l’on conçoit des droites menées du centre de la sphère aux angles d’un triangle, et si l’on coupe ces droites par un plan quelconque, on formera une pyramide triangulaire ; les côtés du triangle sphérique seront les mesures des angles plans qui, par leur réunion, forment l’angle solide du sommet de la pyramide ; les angles de ce triangle sphérique sont les inclinaisons mutuelles des plans qui concourent à ce sommet. Ainsi, la considération des pyramides triangulaires pouvait donner naissance à la Trigonométrie sphérique ; mais cette science doit son origine à l’Astronomie, où elle est d’une nécessité indispensable ; car l’observateur projette sans cesse les astres sur la surface d’une sphère indéfinie dont il se fait le centre.
Les angles et les côtés d’un triangle sphérique étant de même nature, il parait plus naturel de chercher directement leurs rapports que de les déterminer au moyen de leurs sinus et cosinus ; mais les équations entre les arcs et les angles sont transcendantes et fort compliquées, au lieu que les relations entre leurs sinus sont algébriques et fort simples.
Toute la Trigonométrie sphérique n’est que le développement de cette proposition fondamentale :
