Le rayon de la sphère étant pris pour unité, sa surface équivaut à deux circonférences ou à huit angles droits. Cette comparaison d’une surface à un angle ne présente aucune difficulté si l’on considère que la surface doit être divisée par le carré du rayon pris pour unité, et que l’angle est l’arc compris entre ses côtés divisé par le rayon ; la surface et l’arc deviennent ainsi des nombres abstraits, et conséquemment comparables.
La surface d’un polygone sphérique qui n’a point d’angles rentrants est égale à l’excès de la somme de ses angles intérieurs sur deux ibis autant d’angles droits que le polygone a de côtés, moins quatre angles droits. On suppose les côtés du polygone formés par des arcs de grands cercles, qui sur la sphère sont toujours les plus courtes lignes entre leurs points extrêmes.
Ce théorème donne une solution fort simple du problème qui consiste à déterminer en combien de manières on peut couvrir la surface d’une sphère avec des polygones égaux et réguliers. Ce problème dépendant de l’analyse indéterminée va nous fournir une application de cette analyse dont je ne vous ai donné qu’une idée très succincte.
Soient le nombre des côtés d’un des polygones réguliers qui recouvrent la sphère, le nombre des angles qui s’assemblent autour d’un même point et le nombre des polygones. La surface de chaque polygone sera mais cette surface est égale à l’excès de la somme de ses angles intérieurs sur la somme de ces angles est donc
ainsi chaque angle intérieur est égal à
la somme des angles qui s’assemblent autour d’un même point est conséquemment égale à
