de même épaisseur que ces tranches, et dont la surface touche celle des tranches dans leur circonférence moyenne. Il est facile de s’assurer que la surface de chaque tronc de cône est le produit de sa hauteur par la circonférence d’un grand cercle de la sphère ; la somme de ces surfaces est donc égale au produit de la hauteur du segment par cette circonférence ; or, en multipliant le nombre des tranches, cette somme approche sans cesse de la surface du segment, et elle peut en différer moins que d’aucune grandeur donnée ; ainsi la surface du segment sphérique est le produit de sa hauteur par la circonférence d’un grand cercle ; d’où il suit que la surface entière de la sphère est le produit de son diamètre par sa circonférence ; elle est quadruple de la surface d’un de ses grands cercles, et la même que la surface extérieure du cylindre circonscrit ; et, si l’on a égard aux bases du cylindre, la surface entière du cylindre est à celle de la sphère comme est à
Un polyèdre circonscrit à la sphère peut être partagé dans autant de pyramides qu’il y a de faces, le sommet de ces pyramides étant au centre de la sphère. La hauteur de toutes ces pyramides est la même et égale au rayon ; la solidité du polyèdre est donc le tiers du produit de sa surface par le rayon ; d’où il suit, par la théorie des limites, que cela s’étend à la sphère, dont la solidité est, par conséquent, à celle du cylindre circonscrit comme est à ou en raison des surfaces de ces corps.
Ces beaux théorèmes, dus à Archimède, sont l’un des plus précieux monuments de l’antiquité. Leur connaissance étant aujourd’hui devenue familière, on remarque peu la difficulté que présentait alors la comparaison des surfaces convexes avec les surfaces planes ; cette comparaison est le germe des découvertes qui ont été faites depuis dans la Géométrie des courbes et des surfaces.
Le rapport trouvé par Archimède, entre les surfaces et les solidités de la sphère et du cylindre circonscrit, s’étend au cône, et généralement à tous les corps circonscrits à la sphère ; les solidités de tous ces corps sont comme leurs surfaces, ce qui donne un moyen simple d’avoir la surface d’un cône droit coupé par un plan quelconque.
