doit par conséquent donner pour l’arc une infinité de valeurs ; elle n’est donc pas algébrique. Nous donnerons, dans la suite, cette équation décomposée dans ses facteurs simples.
Le cosinus d’un arc est positif dans le premier quart de la circonférence et négatif dans le second quart ; il ne change point quand l’arc augmente d’un nombre quelconque de circonférences ; il ne fait que changer de signe quand l’arc augmente d’un nombre impair de demi-circonférences.
Le théorème fondamental de la théorie des sinus consiste en ce que le sinus de la somme de deux angles est égal au produit du sinus du premier par le cosinus du second, plus au produit du sinus du second par le cosinus du premier. Si l’on fait dans ce théorème le second angle négatif, il donne le sinus de la différence de deux angles ; si l’on augmente d’un angle droit le premier angle, il donne le cosinus de la somme ou de la différence de deux angles. Ces divers résultats qui se déduisent d’un seul théorème par un changement convenable dans le signe des grandeurs, et qu’il est facile de démontrer d’une manière directe, sont très propres à faire comprendre la nature et les usages des quantités négatives.
On peut, au moyen de ces résultats, déterminer successivement les sinus et les cosinus des angles multiples de la dix-millième partie de l’angle droit quand on a ceux de ce petit angle que l’on obtiendra de cette manière : la tangente de la moitié de l’angle droit est égale à l’unité ; or la tangente de la moitié d’un angle est le quotient de la division par la tangente de l’angle de l’unité plus la racine carrée du carré de la tangente augmenté de l’unité ; on aura donc, par une suite de divisions successives, la tangente du quart, du huitième, … de l’angle droit ; et l’on parviendra ainsi à la tangente d’un angle très petit. En observant ensuite que les tangentes de très petits angles sont à fort peu près proportionnelles à leurs arcs, on aura la tangente du dix-millième de l’angle droit, et cette tangente pourra être prise pour le sinus du même angle. On aura son cosinus en extrayant la racine carrée de la différence du carré du sinus à l’unité.
