plus on multiplie les côtés du polygone circonscrit, plus son périmètre approche en longueur de la circonférence, plus sa surface approche de celle du cercle. Ainsi le produit du rayon par le demi-contour des polygones successifs a pour limite le produit du rayon par la demi circonférence, puisqu’il en approche sans cesse et qu’il peut en différer moins que d’aucune grandeur donnée. La surface de ces polygones a pareillement la surface du cercle pour limite ; or il est évident que les deux limites d’une grandeur et de son expression doivent être égales entre elles ; c’est en cela que consiste le second principe fondamental de la théorie des limites, principe qui peut s’énoncer ainsi : La limite de l’expression d’une suite de grandeurs est l’expression de la limite de ces grandeurs ; la surface du cercle est donc égale au produit du rayon par la demi-circonférence.
La méthode des limites sert de base au Calcul infinitésimal. Pour faciliter l’intelligence de ce calcul, il est utile d’en faire remarquer les premiers germes dans les vérités élémentaires qu’il convient toujours de démontrer suivant les méthodes les plus générales. On donne ainsi à la fois aux élèves des connaissances et la méthode pour en acquérir de nouvelles. En continuant de s’instruire, ils ne font que suivre la route qui leur a été tracée, et dans laquelle ils ont contracté l’habitude de marcher ; et la carrière des sciences leur devient beaucoup moins pénible. D’ailleurs le système des connaissances liées entre elles par une méthode uniforme peut mieux se conserver et s’étendre. Préférez donc dans l’enseignement les méthodes générales, attachez-vous à les présenter de la manière la plus simple, et vous verrez en même temps qu’elles sont presque toujours les plus faciles.
Toutes les tentatives que l’on a faites pour déterminer le rapport de la circonférence au diamètre ont été infructueuses ; on est parvenu à s’assurer qu’il est irrationnel ; mais ce rapport est maintenant connu avec une précision beaucoup plus grande que ne l’exigent nos besoins, en sorte que le rapport rigoureux n’est qu’un objet de curiosité. Pour en avoir la valeur approchée, on a inscrit et circonscrit au cercle des polygones réguliers, en doublant continuellement leurs côtés, et en
