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En désignant donc par $\mathrm {X}$ le premier terme de l’expression précédente de $\mathrm {R} ,$ on aura

$2r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=\mathrm {4R-10X} \,;$

en supposant que la variation $\delta$ se rapporte à l’aplatissement de la Terre, on aura

$2\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=4\delta \mathrm {R-10X}$

et l’expression $(a)$ précédente de $d\delta v$ donnera, on faisant $\delta \mathrm {R}$ nul, comme on le peut à l’égard des inégalités à longues périodes,

$d\delta v=-{\frac {d(dr\delta r)}{dt}}-dt(10\mathrm {X} +2r\mathrm {Q} '\delta r).$

Le terme

$\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{3}}}2s\sin \lambda \cos \lambda \sin fv$

de l’expression de $\mathrm {X}$ produit le suivant à longue période :

$\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{3}}}\sin \lambda \cos \lambda \cos(gv-fv).$

En n’ayant donc égard qu’à ce terme, et substituant $dv$ pour $dt,$ ce que l’on peut faire quand on néglige les quantités de l’ordre des carrés de l’excentricité et de l’inclinaison de l’orbite lunaire, l’équation $(a)$ donnera

$d\delta v=$

$-{\frac {d(dr\delta r)}{dt}}-dv\left[10\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\mathrm {D} ^{2}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda \cos(gv-fv)+2\mathrm {Q} 'r\delta r\right].$

Pour déterminer $\delta r$ je reprends l’équation différentielle (S) du n^o 46 du second Livre

$0={\frac {d^{2}.(r\delta r)}{dt^{2}}}+(\mathrm {M} +m){\frac {r\delta r}{r^{3}}}+2\delta \int d\mathrm {R} +\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}.$

Si l’on n’a égard qu’aux quantités à longues périodes on a, par ce qui