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longue période, dont l’argument est le double de la distance angulaire du périgée au nœud de l’orbite de la Lune.

-\mathrm R est, dans ce cas, ce que j’ai nommé $\mathrm {Q}$ dans le n^o 1 du Livre VII de la Mécanique céleste, et en négligeant, comme on peut le faire ici, les termes dépendant de la parallaxe du Soleil et de l’excentricité de son orbite, on a, par le n^o 3 du Livre cité,

$\mathrm {Q} ={\frac {m^{2}r^{2}}{4}}\left[1-3s^{2}+3\left(1-s^{2}\right)\cos(2v-2v')\right]=-\mathrm {R} .$

Je suppose $\mathrm {R}$ développé dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de $e$ et de $\gamma ,$ et qui, en ne considérant que les termes constants ou dépendant seulement du mouvement tlu Soleil, soit

${\begin{aligned}\mathrm {M} m^{2}&+\mathrm {H} m^{2}e^{2}+\mathrm {H} 'm^{2}\gamma ^{2}+\mathrm {L} m^{2}e^{2}\cos(2mt-2\varpi )\\&+\mathrm {L} 'm^{2}\gamma ^{2}\cos(2mt-2\theta )+\mathrm {P} m^{2}e^{2}\gamma ^{2}\cos(2\varpi -2\theta )+\ldots .\end{aligned}}$

En négligeant les termes de l’ordre $m^{4}$ on peut négliger les termes du développement dépendant du moyen mouvement de la Lune, parce que ces termes ne produisent que des termes de l’ordre $m^{2}$ dans les variations des éléments, comme il sera facile de le voir par l’analyse suivante ; il n’en résulte donc, dans $\mathrm {R} ,$ que des quantités de l’ordre $m^{4}.$ En substituant pour $\mathrm {R}$ le développement précédent, dans les équations différentielles des éléments, et faisant, pour simplifier, $a$ et $n$ égaux à l’unité, on aura

${\begin{aligned}de=&m^{2}dt\left[2e\mathrm {L} \sin(2mt-2\varpi )-2e\gamma ^{2}\mathrm {P} \sin(2\varpi -2\theta )\right],\\d\varpi =&-m^{2}dt\left[2\mathrm {H} +2\mathrm {L} \cos(2mt-2\varpi )+2\gamma ^{2}\mathrm {P} \cos(2\varpi -2\theta )\right],\\d\gamma =&m^{2}dt\left[2\gamma \mathrm {L} '\sin(2mt-2\theta )+2e^{2}\gamma \mathrm {P} \sin(2\varpi -2\theta )\right],\\d\theta =&-m^{2}dt\left[2\mathrm {H} '+2\mathrm {L} '\cos(2mt-2\theta )+2e^{2}\mathrm {P} \cos(2\varpi -2\theta )\right].\end{aligned}}$

Je néglige, dans l’expression de $de,$ le terme dépendant de $d\mathrm {R} ,$ parce qu’il est de l’ordre $e^{2}$ par rapport au suivant et parce que l’on peut supposer ici $d\mathrm {R}$ nul. Ces expressions différentielles donnent, en les