III.
On développe encore les expressions de l’anomalie vraie et du rayon vecteur, suivant les sinus et cosinus des multiples de l’anomalie moyenne. Soit alors
étant des fonctions de l’excentricité. On peut facilement démontrer que la série est toujours convergente. En effet, on a
l’intégrale étant prise depuis nul jusqu’à égal à Or on a, dans ces limites, en intégrant par parties,
on aura donc
l’équation
donne
Au périhélie et à l’aphélie, est nul ; est positif, en allant du premier de ces points au second, et négatif, du second au premier. Soit sa plus grande valeur positive ; sera sa plus grande valeur négative. En supposant donc que les valeurs de soient positives et égales à l’unité, depuis le périhélie jusqu’à l’aphélie, et négatives et égales à depuis l’aphélie jusqu’au périhélie, on voit que l’intégrale prise depuis le périhélie jusqu’à l’aphélie,