devient, abstraction faite du signe, égal à
![{\displaystyle (a)\ \ {\frac {e^{i}}{1.2.3(i-1)2^{i-1}}}\left[i^{i-2}+{\frac {i}{1}}(i-2)^{i-2}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i-2}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777ce08ff9ddfa346982976f80167d30cbb81dda)
\end{align}
</math>}}
et il est alors le plus grand possible. Déterminons sa valeur lorsque
est un très grand nombre.
Il est facile de voir que les termes de la série
![{\displaystyle (a')\qquad \qquad i^{i-2}+{\frac {i}{1}}(i-2)^{i-2}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i-2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8ba3e36178726bb9a3eca6212cf4b89fa3b562)
vont d’abord en croissant et qu’ils ont un maximum après lequel ils diminuent. À ce maximum, deux termes consécutifs sont à très peu près égaux. Soit
![{\displaystyle {\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-r+1)}{1.2.3\ldots r}}(i-2r)^{i-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de4712730ac951f45aa9ecb582d8bda9d9f98c9)
le terme maximum. Le terme qui le précède sera
![{\displaystyle {\frac {i(i-1)\ldots (i-r+2)}{1.2.3\ldots (r-1)}}(i-2r+2)^{i-2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144eb54f0b8f3a5502cc829a03f4aa9236d673fe)
en égalant donc ces deux termes, on aura
![{\displaystyle {\frac {i-r+1}{r}}(i-2r)^{i-2}=(i-2r+2)^{i-2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acc743be955b25a7e97038c241584c3ad2d61d0)
Cette équation donne la valeur de
et, par conséquent, le rang que le terme le plus grand occupe dans la série. Si l’on prend les logarithmes des deux membres, on a
![{\displaystyle \log {\frac {i-r+1}{r}}=(i-2)\log \left(1+{\frac {2}{i-2r}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b19fae75793ab6e2059af8d4e43e58558da48c89)
ou
![{\displaystyle (b)\qquad \log {\frac {i-r}{r}}+\log \left(1+{\frac {1}{i-r}}\right)=(i-2)\log \left(1+{\frac {2}{i-2r}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590650ecac99157cb2c0b57ff11c869360834aad)
or on a, lorsque
et
sont de très grands nombres,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log \left(1+{\frac {1}{i-r}}\right)\ \ =&{\frac {1}{i-r}}\ \ -{\frac {1}{2(i-r)^{2}}}+\ldots ,\\\log \left(1+{\frac {2}{i-2r}}\right)=&{\frac {2}{i-2r}}-{\frac {2}{(i-2r)^{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900df97bf38e3c1bf60847bf8c2a058a4551f1d2)