vraie en séries ordonnées suivant ses puissances. Mais, si l’excentricité qui, dans les orbes elliptiques, ne surpasse jamais l’unité, en devenait fort approchante, on conçoit que les séries pourraient cesser d’être convergentes. Il importe donc de connaître si parmi les valeurs comprises entre zéro et l’unité, que l’excentricité peut avoir, il en est une au-dessus de laquelle ces séries seraient divergentes, et dans ce cas, de la déterminer. Prenons pour unité le demi grand axe de l’ellipse ; désignons par
son excentricité, par
l’anomalie moyenne comptée du périgée, et par
le rayon vecteur. On aura, par le no 22 du second Livre de la Mécanique céleste,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} =1&+{\frac {e^{2}}{2}}-e\cos t\\&-{\frac {e^{2}}{1.2}}\cos 2t\\&-{\frac {e^{3}}{1.2.2^{2}}}(3\cos 3t-3\cos t)\\&-{\frac {e^{4}}{1.2.3.2^{3}}}\left(4^{2}\cos 4t-4.2^{2}\cos 2t\right)\\&-{\frac {e^{5}}{1.2.3.4.2^{4}}}\left(5^{3}\cos 5t-5.3^{3}\cos 3t+{\frac {5.4}{1.2}}\right)\cos t)\\&-{\frac {e^{6}}{1.2.3.4.5.2^{5}}}\left(6^{4}\cos 6t-6.4^{4}\cos 4t+{\frac {6.5}{1.2}}2^{4}\right)\cos 2t)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05742ff9f1b016b1bf60aae1e50f12fcda563a8c)
Le terme général de cette expression est
![{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {e^{i}}{1.2.3(i-1)2^{i-1}}}&\left[i^{i-2}\cos it-i(i-2)^{i-2}\cos(i-2)t\right.\\&\quad +{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i-2}\cos(i-4)t\\&\quad -{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3}}(i-6)^{i-2}\cos(i-6)t\\&\quad +\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ede10432315cf1d2e941add56771655cfd96e744)
la série étant continuée jusqu’à ce que l’on arrive à un facteur
dans lequel
soit négatif. Si l’on fait
égal à un angle droit, ce terme devient nul lorsque
est impair ; et, dans le cas de
pair, il