multipliée par
et intégrée depuis
jusqu’à
infini ; en désignant donc par
la somme des carrés
cette probabilité sera proportionnelle à
![{\displaystyle k^{\frac {n-1}{2}}e^{-k\varepsilon }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/811124de487cca5ece3250836670adcdd715053b)
La valeur de
qu’il faut choisir n’est pas, comme plusieurs géomètres le pensent, celle qui rend la fonction précédente un maximum : elle est, comme je l’ai fait voir dans le no 23 de ma Théorie analytique des probabilités, la moyenne des produits de chaque valeur de
par sa probabilité ; cette valeur est donc
![{\displaystyle {\frac {\int k^{\frac {n+1}{2}}e^{-k\varepsilon }dk}{\int k^{\frac {n-1}{2}}e^{-k\varepsilon }dk}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347becc5346627f24e12a0838990c483b623aec4)
les intégrales étant prises depuis
jusqu’à
infini. L’intégrale du numérateur est
![{\displaystyle -{\frac {k^{\frac {n+1}{2}}e^{-k\varepsilon }}{\varepsilon }}+{\frac {n+1}{2\varepsilon }}\int k^{\frac {n-1}{2}}dke^{-k\varepsilon },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2d06d6f7110162e1d19f48c47df8c160cb052a)
et elle se réduit à son second terme. La valeur de
qu’il faut choisir est donc
ainsi la probabilité de
étant, par ce qui précède, proportionnelle à
elle sera proportionnelle à
![{\displaystyle e^{-{\frac {n(n+1)}{2\varepsilon }}u'^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646b6c363fc012505e9d849a23bbb5c26086b8ac)
et par conséquent elle sera
![{\displaystyle {\frac {du'{\sqrt {\cfrac {n(n+1)}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {n(n+1)}{2\varepsilon }}u'^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2dabc411e6ca2cbc36f6797d9302a60d46128b)
En prenant l’intégrale du numérateur dans des limites données, on aura la probabilité que la valeur de
sera comprise dans ces limites. Dans le cas présent, on a
![{\displaystyle n=8\quad {\text{et}}\quad \varepsilon =1{,}6672.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ddcbdb59dfd61ade6bf878071bd6f6d4209ec2)