Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/443

que nous désignerons par $q'\,;$ alors cette exponentielle devient

$e^{-q'}e^{-{\frac {q'^{2}}{2i}}-{\frac {q'^{3}}{3i^{2}}}-\ldots },$

ou $e^{-q'}\,;$ le facteur $e^{-{\frac {q'^{2}}{2i}}-{\frac {q'^{3}}{3i^{2}}}-\ldots }$ devenant l’unité, parce que son exposant est infiniment petit.

Il suit de là que, $i$ étant un grand nombre, on peut supposer dans l’intégrale précédente

$\left[1-2\left(\cos \gamma '-{\sqrt {-1}}\sin \gamma '\right)\cos \gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right]^{i}$

$=e^{-2i\cos \gamma '\left(\cos \gamma '-{\sqrt {-1}}\sin \gamma '\right)\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega },$

$\left[1-2\left(\cos \gamma '+{\sqrt {-1}}\sin \gamma '\right)\cos \gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right]^{i}$

$=e^{-2i\cos \gamma '\left(\cos \gamma '+{\sqrt {-1}}\sin \gamma '\right)\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega },$

d’où il est facile de conclure que la fonction $(q),$ dans le cas de $i$ un nombre pair et très considérable, devient

${\frac {2}{\pi (-1)^{\frac {i}{2}}}}\int d\omega e^{-2i\cos ^{2}\gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega }\cos \left(i\gamma '+2i\sin \gamma '\cos \gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right),$

et que, dans le cas de $i$ impair, cette fonction devient

${\frac {2}{\pi (-1)^{\frac {i-1}{2}}}}\int d\omega e^{-2i\cos ^{2}\gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega }\sin \left(i\gamma '+2i\sin \gamma '\cos \gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega \right).$

Si l’on a $\lambda =1,$ ce qui donne $\gamma '={\frac {\pi }{2}},$ ces deux quantités se réduisent à l’unité, comme cela doit être, car alors ${\sqrt {1-2\lambda x+x^{2}}}$ devient $1-x,$ et l’on a, en faisant $x$ nul après les différentiations,

${\frac {1}{1.2.3\ldots i}}{\frac {d^{i}}{dx^{i}}}{\frac {1}{1-x}}=1=P^{(i)}.$

Mais, quelque petit que l’on suppose ${\sqrt {1-\lambda ^{2}}}$ ou $\cos \gamma ',$ on peut toujours supposer $i$ assez grand pour que $2i\cos ^{2}\gamma '$ soit fort grand, et alors on a, à fort peu près, l’intégrale

$\int d\omega e^{-2i\cos ^{2}\gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega \pm {\sqrt {-1}}\sin \gamma '\cos \gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega },$

égale à cette même intégrale, dans laquelle on changé $\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\omega$ dans