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du premier résultat est, par ce qui précède, ${\frac {\text{ϐ}}{\sqrt {\pi }}}\,;$ celle de la courbe des probabilités des erreurs du second résultat est ${\frac {{\text{ϐ}}'}{\sqrt {\pi }}},$ et ainsi de suite. Le milieu qu’il faut choisir entre les divers résultats est donc celui qui rend un minimum la somme des carrés de l’erreur de chaque résultat multipliée par la plus grande ordonnée de la courbe de sa probabilité. Ce milieu est le premier résultat $\mathrm {A} ,$ plus sa correction, ou

${\frac {\mathrm {A} {\text{ϐ}}^{2}+(\mathrm {A} +q){\text{ϐ}}'^{2}+(\mathrm {A} +q'){\text{ϐ}}''^{2}+\ldots }{{\text{ϐ}}^{2}+{\text{ϐ}}'^{2}+{\text{ϐ}}''^{2}+\ldots }}\,;$

ainsi la loi du minimum des carrés des erreurs devient nécessaire lorsque l’on doit prendre un milieu entre des résultats donnés chacun par un grand nombre d’observations.

VIII.

L’analyse exposée dans l’article VI peut être étendue à la correction d’un nombre quelconque d’éléments par les observations. Elle conduit toujours à ce résultat : savoir que la méthode des moindres carrés des erreurs des observations est celle qui donne sur la correction des éléments la plus petite erreur moyenne à craindre.

Quand on veut corriger un ou plusieurs éléments déjà connus, à fort peu près, par l’ensemble d’un grand nombre d’observations, on forme des équations de condition d’une manière analogue à celle que nous avons donnée dans l’article VI, relativement à un seul élément.

Considérons deux éléments, et nommons $z$ la correction du premier et $z'$ celle du second. Soit ϐ l’observation ; son expression analytique sera fonction des deux éléments : en y substituant leurs valeurs approchées, augmentées respectivement des corrections $z$ et $z',$ en la réduisant ensuite en série et négligeant le produit et les carrés de $z$ et $z',$ cette fonction prendra la forme $\mathrm {A} +pz+qz',$ et en lui égalant la quantité observée ϐ, on aura

${\text{ϐ}}=\mathrm {A} +pz+qz'.$