réunir les deux termes multipliés, l’un par
et l’autre par
alors cette somme prend la forme
Il en est de même des autres sommes semblables. De là il suit que la probabilité que la fonction
sera égale à
est le terme indépendant de
dans la fonction
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{-l\varpi {\sqrt {-1}}}\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos qx\varpi &\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(1)}x\varpi \times \ldots \\&\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(s-1)}x\varpi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e8728f8e16dbfc3817f3e2e951770aad31f797)
En y changeant
dans
on aura la probabilité que la fonction
sera égale à
en réunissant ces deux expressions, le terme indépendant de
dans le produit
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos l\varpi \times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos qx\varpi &\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(1)}x\varpi \times \ldots \\&\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(s-1)}x\varpi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28af0030fd84a543e2edfedeaf0db0eda1c96e7f)
est la probabilité que la fonction
sera ou
ou
cette probabilité est donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }d\varpi \cos l\varpi \times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos qx\varpi &\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(1)}x\varpi \times \ldots \\&\times 2\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos q^{(s-1)}x\varpi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cd0fe79f4bb7848148838981fba43d9f498e08)
On a, en réduisant les cosinus en séries,
![{\displaystyle \mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos qx\varpi =\mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)-{\frac {1}{2}}q^{2}a^{2}\varpi ^{2}\mathrm {S} {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\Psi \left({\frac {x}{a}}\right)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05501ecde00e9025293de860b9a2d5c485f5fe0b)
Si l’on fait
et si l’on observe que, la variation de
étant l’unité, on a
on aura
![{\displaystyle \mathrm {S} \Psi \left({\frac {x}{a}}\right)=a\int dx'\Psi (x').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/addd10a0627611fe1235c54978b836001484993c)
Nommons
l’intégrale
prise depuis
nul jusqu’à sa