On a, en intégrant par rapport à
depuis
jusqu’à
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\\={\frac {2i-1}{2}}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i-2}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\\+{\frac {2i}{2}}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i-1}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95ad9284a23a614e446538b7a80b723ea3fa15c)
Le premier terme du second membre de cette équation est nul par ce qui précède ; ce membre se réduit donc à son second terme ; on trouve de la même manière que l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i-1}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-1}\\={\frac {2i-1}{2}}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i-2}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6524bd22289d499dfdcaa145519be6ebde0eb802)
et ainsi de suite ; on a donc
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mu ^{2i}d\mu dse^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}={\frac {1.2.3\ldots 2i\pi }{2^{2i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e0b97833504000295852146400980ac1b647dd)
par conséquent
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu e^{-\mu ^{2}}={\frac {2.4.6\ldots 2i{\sqrt {\pi }}}{1.3.5\ldots (2i-1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2ecb4d3e42cfd0cf33198ef50cae1a0348a949)
On trouvera de la même manière
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} '_{i}\mathrm {U} '_{i}d\mu e^{-\mu ^{2}}={\frac {1}{2}}{\frac {2.4.6\ldots 2i{\sqrt {\pi }}}{1.3.5\ldots (2i+1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b893af1eccf5bc048796ac215e81b5ef67d0e3)
on a évidemment
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} _{i}\mathrm {U} '_{i}d\mu e^{-\mu ^{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7118c43d02f00cd037203773bfeca18a7a64cb8)
dans le cas même où
et
ne sont pas différents, parce que le produit
ne contient que des puissances impaires de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Cela posé, l’expression générale de
donne, pour sa valeur initiale,