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résultat à très peu près qu’en la prenant depuis $\mu =-\infty$ jusqu’à $\mu =\infty \,;$ la différence n’est ici que de l’ordre ${\frac {e^{-n}}{\sqrt {n}}},$ et, vu l’extrême rapidité avec laquelle $e^{-n}$ diminue à mesure que $n$ augmente, on voit que cette différence est entièrement insensible lorsque $n$ est un grand nombre. Cela posé, considérons dans l’intégrale ${\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} d\mu {\sqrt {n}}$ le terme

${\frac {1.3.5\ldots (2i-1){\frac {1}{2}}\mathrm {H} ^{(i)}{\sqrt {n\pi }}}{2^{i}e^{4ir'}}}\int e^{-\mu ^{2}}d\mu \left[1-{\frac {i}{1.2}}(2\mu )^{2}+{\frac {i(i-1)}{1.2.3.4}}(2\mu )^{4}-\ldots \right].$

En étendant l’intégrale depuis $\mu =-\infty$ jusqu’à $\mu =\infty ,$ ce terme devient

${\frac {1.3.5\ldots (2i-1){\frac {1}{2}}\mathrm {H} ^{(i)}\pi {\sqrt {n}}}{2^{i}e^{4ir'}}}\left[1-i+{\frac {i(i-1)}{1.2}}-{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3}}+\ldots \right]\,;$

le dernier facteur $1-i+{\frac {i(i-1)}{1.2}}-\ldots$ est égal à $(i-1)^{i}\,;$ il est donc nul, excepté dans le cas de $i=0,$ où il se réduit à l’unité. Il est visible que les termes de l’expression de $\mathrm {U}$ qui renferment des puissances impaires de $\mu$ donnent un résultat nul dans l’intégrale ${\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} d\mu {\sqrt {n}},$ étendue depuis $\mu =-\infty$ jusqu’à $\mu =\infty \,;$ car ces termes ont pour facteur $e^{-\mu ^{2}},$ et l’on a généralement dans ces limites

$\int _{-\infty }^{\infty }d\mu \mu ^{2i+1}e^{-\mu ^{2}}=0\,;$

il n’y a donc que le premier terme de l’expression de $\mathrm {U} ,$ terme que nous représentons par $\mathrm {H} e^{-\mu ^{2}},$ qui puisse donner un résultat dans l’intégrale ${\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} d\mu {\sqrt {n}},$ et ce résultat est ${\frac {1}{2}}\mathrm {H} n{\sqrt {\pi }}\,;$ on a donc

${\frac {1}{2}}\mathrm {H} n{\sqrt {\pi }}=1,$

par conséquent

$\mathrm {H} ={\frac {2}{n{\sqrt {\pi }}}}.$