En prenant les intégrales depuis
jusqu’à
on a
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}={\sqrt {\pi }},\qquad \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {zdze^{-z^{2}}}{\sqrt {z^{2}+2r}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48978b164614e364f5cf724b502369eb30ec2d0)
on a donc
![{\displaystyle {\sqrt {\pi }}e^{r}\int _{0}^{\infty }dye^{-\left({\frac {2y^{2}+r}{2y}}\right)^{2}}={\sqrt {\pi }}e^{r}\int _{0}^{\infty }dze^{-z^{2}-2r}={\frac {\pi e^{-r}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dcfb55360cfec673477b8ce9644011fc74a2192)
partant
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos rx}{1+x^{2}}}={\frac {\pi }{2e^{r}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec95d81067e5c9939f0d1bca6c6e8981ed6f8c9)
En différenciant par rapport à
on a
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {xdx\sin rx}{1+x^{2}}}={\frac {\pi }{2e^{r}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e6d5d3e73ca0d027c0fa6112da44803db71b6d)
ce qui donne
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx(\cos rx+x\sin rx)}{1+x^{2}}}={\frac {\pi }{e^{r}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace43d4953953136cd2be3c4ce52bb6ac097b038)
en faisant
on aura le théorème que j’ai donné dans les Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1782, page 59 [1].
Si l’on fait
on aura
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos rx}{1+x^{2}}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {rdt\cos t}{r^{2}+t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7126617ff77b181453030ab2a7a8e4c73160778)
partant
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dt\cos t}{r^{2}+t^{2}}}={\frac {\pi e^{-r}}{2r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11da19d6924e34a12886d8fda38138f9f57b17b)
Soit
on aura en différenciant
fois par rapport à
l’équation précédente, et restituant pour
sa valeur ![{\displaystyle rx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de83b7aa87317ad3956b7eec509734d84d47c414)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos rx}{\left(1+x^{2}\right)^{i}}}={\frac {(-1)^{i-1}q^{i-{\frac {1}{2}}}}{1.2.3\ldots (i-1)}}{\frac {\pi }{2}}{\frac {d^{i-1}}{dq^{i-1}}}{\frac {e^{-{\sqrt {q}}}}{\sqrt {q}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21763f0f478e896b9f900b590c058f4a7e4090be)
on pourra donc intégrer généralement, depuis
nul jusqu’à
infini, la différentielle
![{\displaystyle {\frac {\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{4}+\ldots +\mathrm {H} x^{2i-2}\right)dx\cos rx}{\left(1+x^{2}\right)^{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec3bef899ea5a6b2ce885ba5ec21736bc6ecbfb)
- ↑ Œuvres de Laplace, T. X, p. 264.