nous eussions considéré celle-ci,
![{\displaystyle \int \sin rx\Psi (x)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e73eae6894a48b3e3d73996e8f4ae890251d3d)
nous aurions trouvé pour ![{\displaystyle \Psi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8411ce878bfee5fba76012cdf74e18f8a0eba447)
![{\displaystyle {\frac {b}{\sqrt {x}}}e^{-{\frac {1}{6}}x^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d63ca2de066e0b8a04a77ce59fd8c4e4b8ced96)
La réunion de ces deux intégrales est donc l’intégrale complète de l’équation ![{\displaystyle (u).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f299f365a18ca45e0b214ac154b7b146f9e73d8)
Pour déterminer les constantes
et
nous observerons que, si l’on fait
et
l’intégrale
devient
![{\displaystyle {\frac {1}{n^{\frac {1}{4}}}}\int {\frac {dx'}{\sqrt {x'}}}(a\cos x'+b\sin x')e^{-{\frac {x^{2}}{6n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4724264532b65f94aa2b595fcb8833da0bd6db)
Lorsque
est un très grand nombre, on peut supposer le facteur
égal à l’unité, dans toute l’étendue de l’intégrale prise depuis
nul jusqu’à
infini, car alors ce facteur ne commence à s’écarter sensiblement de l’unité que lorsque
est de l’ordre
et l’intégrale, prise depuis une valeur de cet ordre pour
jusqu’à
infini, peut être négligée relativement à l’intégrale entière. Maintenant on a, comme je l’ai fait voir dans le Tome VIII du Journal de l’École Polytechnique, page 248,
![{\displaystyle \int {\frac {dx'\cos x'}{\sqrt {x'}}}=\int {\frac {dx'\sin x'}{\sqrt {x'}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b835690ef8bb97b0b8cff57fb79a61c95795ad87)
L’intégrale précédente se réduit donc à
![{\displaystyle {\frac {1}{n^{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {2\pi }}{\frac {a+b}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223ad3f631da060cd713d32098a4eeed33efb210)
c’est l’expression de
lorsqu’on y fait
Alors on a
![{\displaystyle \varphi (r,n)={\frac {2^{n}}{1.3.5\ldots (2n-1)}}\left[n^{n-{\frac {1}{2}}}-n(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-2)^{n-{\frac {1}{2}}}-\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ef666d3b26f8d819afdec512071c073b66fb97)