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Considérons le cas de $i={\frac {1}{2}}\,;$ on aura pour l’intégrale de l’équation $(u)$

$\varphi (r,n)=\int {\frac {1}{\sqrt {x}}}e^{-{\frac {x^{2}}{6}}}(a\cos rx+b\sin rx)dx,$

$a$ et $b$ étant deux constantes arbitraires, et l’intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini. En effet, si, conformément à la méthode exposée aux pages 49 et suivantes des Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782 ^[1], on fait

$\varphi (r,n)=\int \cos rx\Psi (x)dx\,;$

en substituant cette valeur dans l’équation différentielle $(u),$ et faisant disparaître le coefficient $r$ de cette équation au moyen des intégrations par parties, on aura

$0=3x\cos rx\Psi (x)+\int \cos rx\left[\left({\frac {3}{2}}-x^{2}\right)dx\Psi (x)-3d.x\Psi (x)\right].$

Suivant la méthode citée, on détermine $\Psi (x)$ en égalant à zéro la partie sous le signe $\int ,$ et l’on a

$0=\left({\frac {3}{2}}-x^{2}\right)dx\Psi (x)-3d.x\Psi (x),$

équation qui, intégrée, donne

$\Psi (x)={\frac {a}{\sqrt {x}}}e^{-{\frac {1}{6}}x^{2}}.$

On détermine ensuite les limites de l’intégrale en égalant à zéro la partie $3x\cos rx\Psi (x)$ hors du signe intégral. Cette partie devient

$3a{\sqrt {x}}\cos rxe^{-{\frac {1}{6}}x^{2}},$

et elle est nulle avec $x$ et lorsque $x$ est infini. Ainsi l’intégrale

$\int {\frac {dx}{\sqrt {x}}}\cos rxe^{-{\frac {1}{6}}x^{2}}$

doit être prise dans ces limites. Si, au lieu de l’intégrale

$\int \cos rx\Psi (x)dx,$

1. Œuvres de Laplace, t. X, p. 254 et suiv.