en rejetant les termes dans lesquels la quantité sous le signe de la puissance est négative. Cet artifice, étendu à des lois quelconques de facilités, donne une méthode générale pour déterminer la probabilité que l’erreur d’un nombre quelconque d’observations sera comprise dans des limites données. [Voir les Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1778, page 240 et suivantes [1].]
Pour déterminer
nous ferons
et
nul. La formule précédente devient alors
mais cette quantité doit être égale à l’unité, puisqu’il est certain que l’inclinaison doit tomber entre zéro et
On a donc
![{\displaystyle k={\frac {1}{h}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d18f0ebe72a174143b41c142d74eb642ea0b38)
ce qui change la formule précédente dans celle-ci
![{\displaystyle (a)\quad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{1.2.3\ldots n.h^{n}}}&\left[(s+e')^{n}-n(s+e'-h)^{n}\right.\\\quad &+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s+e'-2h)^{n}\\&\quad -\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\quad -(s-e)^{n}+n(s-e-h)^{n}\\\quad &-{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s-e-2h)^{n}\\&\quad +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ].\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424ee88538910be8b9d9f34f670eeca32891362e)
Si l’on fait
et
la probabilité que la somme des inclinaisons sera comprise entre zéro et
étant la certitude ou l’unité, la formule précédente donne
![{\displaystyle n^{n}-n(n-1)^{n}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-2)^{n}-\ldots =1.2.3\ldots n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08875ffb008dde671302ad5b7474659550d8d9c)
ce que l’on sait d’ailleurs.
II.
Appliquons cette formule aux inclinaisons des orbites des planètes. La somme des inclinaisons des autres orbites à celle de la Terre était,
- ↑ Œuvres de Laplace, T. IX, p. 396 et suivantes.