tielle, donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&-{\frac {d\theta '\sin \theta }{\cos ^{2}\theta '}}\cos(\varpi '-\varpi )+d\varpi '\sin \theta \operatorname {tang} \theta '\sin(\varpi '-\varpi )\\&+{\frac {vd\theta '\sin \theta '}{\cos ^{2}\theta '}}+{\frac {d\theta '}{\cos \theta '}}{\frac {\partial v}{\partial \theta '}}+{\frac {d\varpi '}{\cos \theta '}}{\frac {\partial v}{\partial \varpi '}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fd01b786d6c6752b66d8d097a5607a95d82b1e)
En comparant séparément les coefficients de
et
on aura les deux équations suivantes, données par le principe de la moindre action :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(1)&&\sin \theta \cos(\varpi '-\varpi )=&v\sin \theta '+{\frac {\partial v}{\partial \theta '}}\cos \theta ',\\(2)&&\qquad \qquad \sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi '-\varpi )=&-{\frac {\partial v}{\partial \varpi '}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02a33bd0ad2bc7eca5e18c705b48f21ca0ce955)
Quand la loi de réfraction est connue, on a les valeurs de
et
en fonctions de
et de
Ces valeurs, substituées dans les deux équations précédentes, donneront la vitesse
du rayon lumineux correspondante à cette loi, du moins si la loi de réfraction est un résultat de forces attractives et révulsives. Réciproquement, si la vitesse
est donnée, on aura, au moyen de ces équations, la loi correspondante de la réfraction.
Dans l’intérieur du cristal, la vitesse ne dépend que des angles formés par la direction du rayon et par des axes fixes dans l’intérieur du corps. Supposons qu’il n’y ait qu’un axe et que
soit l’angle formé par cet axe et par la direction du rayon réfracté,
sera fonction de
Si par l’axe on mène un plan perpendiculaire à la face du cristal et que l’on prenne pour la ligne invariable d’où l’on compte les angles
et
l’intersection de ce plan avec la face ; si, de plus, on nomme
l’angle que fait avec la face un plan perpendiculaire à l’axe, on aura
![{\displaystyle \cos \mathrm {V} =\cos \lambda \cos \theta '-\sin \lambda \sin \theta '\cos \varpi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b181835ad9b79e130aaa91d4687c9292fdc2b3c1)
On aura donc, en regardant
comme fonction d ![{\displaystyle \cos \mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c2d32991b12af5311825fbf03f745af04c38f1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial v}{\partial \theta '}}\ \,=&-{\frac {\partial v}{\partial \cos \mathrm {V} }}(\cos \lambda \sin \theta '+\sin \lambda \cos \theta '\cos \varpi ')\\{\frac {\partial v}{\partial \varpi '}}=&\quad \ {\frac {\partial v}{\partial \cos \mathrm {V} }}\sin \lambda \sin \theta '\sin \varpi '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a136c00233f61d092d25a689710ded79befe96bf)