l’équation différentielle en
donnera
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u-{\frac {1}{h^{2}}}(1+2\alpha v)-{\frac {e{\text{ϐ}}}{h^{2}}}\sin(v-\varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75fbff34bdbd36ed620b90282c769a8ff94c9e46)
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle u={\frac {1}{h^{2}}}(1+2\alpha v)-{\frac {e}{h^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}v\right)\cos(v-\varpi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa633e1e14409f11475b7531fb98f06ce7976f4)
On voit ainsi que la résistance de l’éther ne produit point d’équation sensible dans le mouvement de l’apogée ; elle ne produit qu’une très petite altération dans l’excentricité de l’orbite.
Pour déterminer la variation qui en résulte dans le moyen mouvement de la Lune, reprenons l’expression de
dans l’article I ; expression qui devient, à fort peu près,
![{\displaystyle dt={\frac {dv}{hu^{2}}}\left(1-{\frac {1}{h^{2}}}\int {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c559c8368cd6d8f29daf86124e8d80497ce79ee5)
En y substituant, pour
et pour
leurs valeurs précédentes, on aura, à très peu près,
![{\displaystyle dt=h^{3}dv(1-3\alpha v+\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/941078d61b5305ade383e7db43366e50f0c811dd)
et, par conséquent,
![{\displaystyle t=h^{3}\left(v-{\frac {3}{2}}\alpha v^{2}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8acd007ba8ad6db6154452284cbf634c131fb361)
d’où l’on tire
![{\displaystyle v={\frac {t}{h^{3}}}+{\frac {3\alpha t^{3}}{2h^{6}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf37dfdbdc19d339bf11dd6b2c4e3c0e5720d3b4)
Le mouvement de la Lune est donc assujetti, par la résistance de l’éther, à une équation séculaire proportionnelle au carré du temps.
L’équation
de l’article I donne
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s-{\text{ϐ}}'{\frac {ds}{dv}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03c03fe1e32faf708df540408fad7bc75f2a9b7)