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Cela posé, la variation du terme précédent produira le terme

$-{\frac {3}{4}}m^{2}\left[(3-2m-g)\left(1-{\frac {5}{2}}e'^{2}\right)\mathrm {A} ^{(0)}+3\mathrm {A} ^{(1)}e'^{2}+3\mathrm {A} ^{(2)}e'^{2}\right.$

$\left.+{\frac {1}{2}}(3-m-g)\mathrm {A} ^{(3)}e'^{2}-{\frac {7}{2}}(3-3m-g)\mathrm {A} ^{(4)}e'^{2}\right]\lambda \sin(gv-\theta ).$

On verra ci-après que $\mathrm {A} ^{(1)}$ est à fort peu près égal à $-\mathrm {A} ^{(2)},$ ce qui réduit à zéro la quantité $3\mathrm {A} ^{(1)}e'^{2}+3\mathrm {A} ^{(2)}e'^{2}.$ De plus, si l’on néglige la force perturbatrice, on a

$0={\frac {d^{2}s_{1}}{dv^{2}}}+s_{1}\,;$

et si, parmi les termes de $\delta s_{1},$ on ne conserve que ceux dans lesquels le coefficient de $v$ diffère peu de l’unité, on a, à fort peu près,

$0={\frac {d^{2}\delta s_{1}}{dv^{2}}}+\delta s_{1}.$

On peut donc négliger ici le terme $\left({\frac {d^{2}s_{1}}{dv^{2}}}+s_{1}\right)2\int {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\,;$ l’équation différentielle en $s_{1}$ deviendra ainsi

$0={\frac {d^{2}s_{1}}{dv^{2}}}+s_{1}+{\frac {3}{2}}m^{2}\left[1+{\frac {3}{2}}e'^{2}-{\frac {1}{2}}(3-2m-g)\left(1-{\frac {5}{2}}e'^{2}\right)\mathrm {A} ^{(0)}\right.$

${\begin{aligned}&+{\frac {1}{4}}(3-m-g)\mathrm {A} ^{(3)}e'^{2}\\&+\left.{\frac {7}{4}}(3-3m-g)\mathrm {A} ^{(4)}e'^{2}\right]\lambda \sin(gv-\theta )\end{aligned}}$

$-{\frac {3m^{2}\lambda }{2}}\left[\left(1-{\frac {5}{2}}e'^{2}\right)\sin(2v-2mv-gv+\theta )\right.$

${\begin{aligned}&+{\frac {3}{2}}e'\sin(gv+c'mv-\theta -\varpi ')\\&+{\frac {3}{2}}e'\sin(gv-c'mv-\theta +\varpi ')\\&+{\frac {1}{2}}e'\sin(2v-2mv-gv+c'mv+\theta -\varpi ')\\&-{\frac {7}{2}}e'\sin(2v-2mv-gv-c'mv+\theta +\varpi ')\\&+\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right].\end{aligned}}$

En intégrant cette équation différentielle, on trouvera

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} ^{(0)}=&{\frac {3m^{2}\left(1-{\frac {5}{2}}e'^{2}\right)}{2(2g+2m-2)(2-m)}},\qquad &\mathrm {A} ^{(1)}=&{\frac {-gm^{2}}{4m(2g+m)}},\\\mathrm {A} ^{(2)}=&{\frac {gm^{2}}{4m(2g-m)}},&\mathrm {A} ^{(3)}=&{\frac {3m^{2}}{4(2g+m-2)(2-m)}},\\\mathrm {A} ^{(4)}=&{\frac {-21m^{2}}{4(2g+3m-2)(2-3m)}},\end{alignedat}}$