jusqu’à
on aura par conséquent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {8\pi }{15}}\mathrm {S} \rho da^{5}-{\frac {8\alpha \pi }{27}}\varphi \mathrm {S} \rho da^{3}+{\frac {5\alpha }{3}}\mathrm {SY} ^{(2)}d\mu d\varpi \left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)\mathrm {S} \rho da^{3},\\\mathrm {B} =&{\frac {8\pi }{15}}\mathrm {S} \rho da^{5}+{\frac {4\alpha \pi }{27}}\varphi \mathrm {S} \rho da^{3}+{\frac {5\alpha }{3}}\mathrm {SY} ^{(2)}d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi \right]\mathrm {S} \rho da^{3},\\\mathrm {C} =&{\frac {8\pi }{15}}\mathrm {S} \rho da^{5}+{\frac {4\alpha \pi }{27}}\varphi \mathrm {S} \rho da^{3}+{\frac {5\alpha }{3}}\mathrm {SY} ^{(2)}d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi \right]\mathrm {S} \rho da^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f20cc956c1ce12530881a3266945cf68165ee1)
La fonction
est de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} \left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)&+\mathrm {H} '\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \\&+\mathrm {H} ''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi \\&+\mathrm {H} '''\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi \\&+\mathrm {H} ^{\text{ıv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa7602eab2a2cb6a09a4806b112d0eb67915ace)
et j’ai fait voir, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1783 [1], que la considération des axes principaux de rotation rend nulles les constantes
en sorte que la fonction
se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {H} \left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)+\mathrm {H} ^{\text{ıv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c69302ef2b2a3f778bbb480bccba45175ad56c7)
Les variations de la pesanteur étant à très peu près proportionnelles au carré du sinus de la latitude, la valeur de
doit être très petite ; elle serait nulle, en effet, si la Terre était un solide de révolution. Mais, pour plus de généralité, nous la conserverons dans ces recherches : nous aurons ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {8\pi }{15}}\mathrm {S} \rho da^{5}+{\frac {16}{27}}\alpha \pi \left(\mathrm {H} -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\mathrm {S} \rho da^{3},\\\mathrm {B} =&{\frac {8\pi }{15}}\mathrm {S} \rho da^{5}-{\frac {8}{27}}\alpha \pi \left(\mathrm {H} -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\mathrm {S} \rho da^{3}-{\frac {8\alpha \pi }{9}}\mathrm {H} ^{\text{ıv}}\mathrm {S} \rho da^{3},\\\mathrm {C} =&{\frac {8\pi }{15}}\mathrm {S} \rho da^{5}-{\frac {8}{27}}\alpha \pi \left(\mathrm {H} -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\mathrm {S} \rho da^{3}+{\frac {8\alpha \pi }{9}}\mathrm {H} ^{\text{ıv}}\mathrm {S} \rho da^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ff4d59ef38f2f4c52c95e40f1af6cc7bff8c9e)
IV.
Considérons présentement les valeurs de
et
qui entrent dans les équations différentielles (D) de l’article II. Soient
la masse
- ↑ Œuvres de Laplace, T. XI.