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MÉMOIRE SUR LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES

réduite dans une série ordonnée par rapport aux puissances de $\alpha t,$ est de cette forme

$s+\alpha t{\frac {ds}{\alpha dt}}+{\frac {\alpha ^{2}t^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}s}{\alpha ^{2}dt^{2}}}+\ldots ,$

les quantités $s,{\frac {ds}{\alpha dt}},{\frac {d^{2}s}{\alpha ^{2}dt^{2}}},\ldots$ étant relatives à l’instant que l’on choisit pour époque. Le second terme de cette série exprime la variation $\delta s$ lorsque $\alpha t$ est très petit ; en comparant donc cette variation à celle-ci, $\alpha n^{2}t\sin \mathrm {V} ,$ on aura

${\frac {ds}{dt}}=\alpha n^{2}\sin \mathrm {V} ,$

et, comme l’instant de l’époque est arbitraire, cette équation différentielle a lieu pour un instant quelconque.

Maintenant, $\mathrm {V}$ étant, par l’article VI, égal à

$2n''t-3n't+nt+2\varepsilon ''-3\varepsilon '+\varepsilon ,$

on a

$d\mathrm {V} =dt(2n''-3n'+n)=sdt\,;$

on aura ainsi, entrer, $\mathrm {V}$ et $t,$ deux équations différentielles du premier ordre, dont les intégrales donneront les valeurs de $s$ et $\mathrm {V}$ pour un temps quelconque.

De ces équations, on tire la suivante

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dt^{2}}}=\alpha n^{2}\sin \mathrm {V} \,;$

en la multipliant par $d\mathrm {V}$ et en l’intégrant, on aura

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\pm d\mathrm {V} }{\sqrt {\lambda -2\alpha n^{2}\cos \mathrm {V} }}}=dt,$

$\lambda$ étant une constante arbitraire. Les différentes valeurs que l’on peut supposer à cette constante donnent lieu aux trois cas suivants :

Premier cas. – Si $\lambda$ est positif et plus grand que $\pm 2\alpha n^{2},$ il est visible que l’angle $\pm \mathrm {V}$ croîtra sans cesse, et cela doit arriver si l’origine du mouvement, $2n''-3n'+n,$ est positive ou négative et d’un ordre supérieur à $n{\sqrt {\pm \alpha }}.$