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MÉMOIRE SUR LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES

Supposons que, en réduisant $\mathrm {R}$ dans une suite ordonnée par rapport aux cosinus de $v'-v,\ v''-v$ et de leurs multiples, on ait

${\begin{aligned}\mathrm {R} =&\quad \ m'\ \left[\mathrm {A} ^{(0)}+\mathrm {A} ^{(1)}\cos(v'-v)\ +\mathrm {A} ^{(2)}\cos 2(v'-v)+\ldots \right]\\\\&+m''\left[\mathrm {B} ^{(0)}+\mathrm {B} ^{(1)}\cos(v''-v)+\mathrm {B} ^{(2)}\cos 2(v''-v)+\ldots \right]\,;\end{aligned}}$

on aura $\operatorname {d} \mathrm {R}$ en différenciant $\mathrm {R}$ uniquement par rapport à $r$ et $v,$ ce qui donne

${\begin{aligned}&\operatorname {d} \mathrm {R} =m'dv\left[\mathrm {A} ^{(1)}\sin(v'-v)+2\mathrm {A} ^{(2)}\sin 2(v'-v)+\ldots \right]\\&+m'\ dr\left[{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(0)}}{\partial r}}+{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial r}}\cos(v'-v)+{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(2)}}{\partial r}}\cos 2(v'-v)+\ldots \right]\\\\&+m''dv\left[\mathrm {B} ^{(1)}\sin(v''-v)+2\mathrm {B} ^{(2)}\sin 2(v''-v)+\ldots \right]\\\\&+m''dr\left[{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(0)}}{\partial r}}+{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial r}}\sin(v''-v)+{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial r}}\sin 2(v''-v)+\ldots \right].\end{aligned}}$

Il faut maintenant substituer, dans cette expression de $\operatorname {d} \mathrm {R} ,$ au lieu de $r,r',r'',v,v',v'',$ leurs valeurs approchées jusqu’aux premières puissances inclusivement de $m,m',m'',$ en distinguant avec soin les termes constants de ceux qui ne sont que périodiques.

VII.

Pour cela, nous allons rappeler ici quelques résultats de la théorie des perturbations des satellites de Jupiter ; nous les tirerons de l’excellente pièce de M. de la Grange, qui a remporté le prix de l’Académie pour l’année 1766, et qui est imprimée dans le tome IX du recueil des Prix de l’Académie.

Si l’on désigne par l’unité le demi-diamètre de Jupiter, on aura, en n’ayant égard qu’à l’action des trois premiers satellites,

${\begin{aligned}&r=5{,}67\\&+m'\left[4{,}19\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )-1014{,}93\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\right.\\&\quad \qquad \left.-3{,}87\cos 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )-1{,}02\cos 4(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )-\ldots \right]\\&+m''\left[0{,}75\cos(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )-1{,}06\cos 2(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )\right.\\&\quad \qquad \left.-0{,}13\cos 3(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )-0{,}02\cos 4(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )-\ldots \right],\end{aligned}}$