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DES PLANÈTES ET DES SATELLITES.

de $\mathrm {M} .$ En vertu des inégalités séculaires, les éléments de ces ellipses varieront par des nuances imperceptibles ; mais la suite des siècles rendra ces variations très sensibles. Les intégrales précédentes établissent entre elles des rapports constants que nous allons déterminer.

Soit $a$ le demi grand axe de l’ellipse que $m$ décrirait autour de $\mathrm {M} ,$ si l’on ne considérait que l’action de ces deux corps ; on aura, comme l’on sait,

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}={\frac {2(1+m)}{r}}-{\frac {1+m}{a}}.$

Cette équation n’aura plus lieu, si l’on a égard à l’action des autres corps $m,m',\ldots \,;$ cependant, si l’on observe que l’orbite de $m$ peut toujours être considérée à chaque révolution comme une ellipse, aux quantités périodiques près qui troublent le mouvement de ce corps, on verra que cette équation est encore à très peu près exacte après un temps quelconque ; mais le demi grand axe a pourra n’être plus le même qu’à l’origine.

Il suit de là que, en ayant égard à l’action de tous les corps du système, on a

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}={\frac {2(1+m)}{r}}-{\frac {1+m}{a}}+\psi ,$

$\psi$ étant une fonction périodique de l’ordre des masses perturbatrices.

Si l’on nomme pareillement $a',a'',\ldots$ les demi grands axes des orbites que $m',m'',\ldots$ décriraient à chaque révolution, sans les perturbations qu’ils éprouvent, on aura

${\begin{aligned}{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{dt^{2}}}=&{\frac {2(1+m')}{r'}}-{\frac {1+m'}{a'}}+\psi ',\\{\frac {dx''^{2}+dy''^{2}+dz''^{2}}{dt^{2}}}=&{\frac {2(1+m'')}{r''}}-{\frac {1+m''}{a''}}+\psi '',\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$\psi ',\psi '',\ldots$ étant des quantités périodiques de l’ordre $m.$ En substituant ces valeurs dans l’équation (4) de l’article précédent, elle de-