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Dans le cas de la nature où $n=-2,$ cette équation devient

$0=mz^{2}\left[(1+z)^{3}-1\right]-m'(1+z)^{2}(1-z^{3})-m''\left[(1+z)^{3}-z^{3}\right],$

équation du cinquième degré, et par conséquent susceptible d’une racine réelle ; et comme, dans la supposition de $z=0,$ le second membre de cette équation est négatif, tandis qu’il est positif dans le cas de $z$ infini, $z$ a nécessairement une valeur réelle et positive.

Si l’on suppose que $m$ soit le Soleil, $m'$ la Terre et $m''$ la Lune, on aura à très peu près

$z={\sqrt[{3}]{\frac {m'+m''}{m}}},$

ce qui donne $z$ égal à ${\frac {1}{100}}$ environ. Donc si, à l’origine, la Terre et la Lune avaient été placées sur une même droite avec le Soleil à des distances respectives de cet astre proportionnelles à $1$ et à $1+{\frac {1}{100}}\,;$ si, de plus, on leur avait imprimé des vitesses parallèles et proportionnelles à ces distances, la Lune eût été sans cesse en opposition avec le Soleil ; ces deux astres se seraient succédé l’un à l’autre sur l’horizon ; et comme, à cette distance de la Terre, la Lune n’aurait point été éclipsée, sa lumière eût, pendant les nuits, remplacé la lumière du Soleil.

Je dois observer que M. de la Grange a déjà résolu ces problèmes, dans le cas de trois corps et de $n=-2\,;$ mais j’ai cru que les Géomètres verraient avec plaisir le principe général dont ces solutions dépendent, quels que soient le nombre des corps du système et la puissance de la distance suivant laquelle ils s’attirent.

fin du tome onzième.

20164 Paris.-Imprimerie Gauthier-Villars et fils, quai des Grands-Augustins, 55.