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équation qui résulte pareillement de la nature du centre de gravité. Cette équation, combinée avec la première des équations $(a),$ donne

$x\left[m'r^{n-1}+(m+m'')r^{'n-1}\right]+m'x'\left(r^{'n-1}-r^{n-1}\right)=\mathrm {K} x.$

En supposant donc $r=r',$ on aura

$\mathrm {K} =(m+m'+m'')r^{n-1}.$

Si l’on suppose, de plus, $r=r'',$ les deux dernières des équations (a) donneront la même expression de $\mathrm {K} \,;$ d’où il suit que, dans la supposition de $r=r'=r'',$ cette expression satisfait aux équations $(a)$ et aux équations semblables en $y,y'$ et $y''.$

Si, dans cette supposition, on nomme $s,s',s''$ les distances respectives des corps $m,m',m'',$ au centre de gravité du système, les forces qui sollicitent ces corps vers ce point seront $\mathrm {K} s,\mathrm {K} s',\mathrm {K} s''\,;$ ainsi, en imprimant à ces trois corps des vitesses proportionnelles à $s,s',s'',$ et dont les directions soient également inclinées sur ces rayons, on aura, durant le mouvement, $r=r'=r'',$ c’est-à-dire que les trois corps forment toujours un triangle équilatéral par les droites qui les joignent ; ils décriront des courbes parfaitement semblables autour de leur centre de gravité et autour les uns des autres.

La force qui sollicite $m$ étant égale à $\mathrm {K} s,$ elle sera

$(m+m'+m'')r^{n-1}s\,;$

or on a

$r={\frac {(m+m'+m'')s}{\sqrt {m'^{2}+m'm''+m''^{2}}}}\,;$

ainsi l’expression de la force qui sollicite $m$ vers le centre de gravité du système sera

$(m+m'+m'')^{n}\left(m'^{2}+m'm''+m''^{2}\right)^{\frac {1-n}{2}}s^{n}.$

Dans le cas de la nature où $n=-2,$ cette force fera décrire une section conique ; ainsi les trois corps décriront trois sections coniques semblables autour du centre de gravité du système, en formant constamment entre eux un triangle équilatéral, dont les côtés varieront