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on aura, à tous les instants,

${\begin{aligned}0=&m{\sqrt {a}}(p-p_{1})+m'{\sqrt {a'}}(p'-p_{1})+m''{\sqrt {a''}}(p''-p_{1})+\ldots ,\\0=&m{\sqrt {a}}(q-q_{1}\,)+m'{\sqrt {a'}}(q'-q_{1})+m''{\sqrt {a''}}(q''-q_{1}\,)+\ldots \,;\end{aligned}}$

$p-p_{1}$ est la tangente de l’inclinaison $\varphi _{1}$ de l’orbite de $m$ sur le nouveau plan, multipliée par le sinus de la longitude $\theta _{1}$ de son nœud ascendant sur ce plan, longitude que l’on peut compter encore sur ce plan. Pareillement $q-q_{1}$ est la tangente de l’inclinaison $\varphi _{1}$ de l’orbite de $m$ sur le nouveau plan, multipliée par le cosinus de la longitude $\theta _{1}$ de son nœud ascendant sur ce plan ; d’où il suit que, relativement à ce nouveau plan, la somme des masses des planètes, multipliées respectivement par les racines carrées de leurs moyennes distances, par les tangentes de leurs inclinaisons et par les sinus ou par les cosinus des longitudes de leurs nœuds, est constamment nulle ; en supposant donc que le plan fixe soit le nouveau plan lui-même, on aura

${\begin{aligned}0=&m{\sqrt {a}}p+m'{\sqrt {a'}}p'+m''{\sqrt {a''}}p''+\ldots ,\\0=&m{\sqrt {a}}q+m'{\sqrt {a'}}q'\,+m''{\sqrt {a''}}q''+\ldots .\end{aligned}}$

Les expressions de $p,q,p',q',\ldots$ sont données en sinus et cosinus d’angles croissants avec une extrême lenteur ; elles renferment, de plus, des termes constants et tels, que, si l’on n’a égard qu’à ces termes, on a

$p=p'=p'',\qquad \ldots ,\qquad q=q'=q'',\qquad \ldots \,;$

on aura donc, par rapport au plan que nous considérons,

${\begin{aligned}0=&p\left(m{\sqrt {a}}+m'{\sqrt {a'}}+m''{\sqrt {a''}}+\ldots \right),\\0=&q\left(m{\sqrt {a}}+m'{\sqrt {a'}}+m''{\sqrt {a''}}+\ldots \right),\end{aligned}}$

ce qui donne

$p=0,\qquad q=0\,;$

ainsi les termes constants disparaissent des expressions de $p,q,p',q',\ldots .$

La position du nouveau plan que nous venons de considérer est