Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/563

soit $\gamma ,$ cette longitude étant comptée de la ligne fixe d’où l’on compte les angles $\theta ,\theta ',\ldots .$ Concevons ensuite sur le plan fixe un point quelconque $\mathrm {O} ,$ dont la longitude soit $\mathrm {\mathrm {V} } \,;$ par ce point et par le centre du \mathrm Soleil, menons un grand cercle perpendiculaire au plan fixe ; il est clair que la tangente de l’arc de ce cercle, compris entre le point $\mathrm {O}$ et le nouveau plan sera $\operatorname {tang} \psi \sin(\mathrm {V} -\gamma ).$ L’arc du même cercle, compris entre le plan fixe et celui de l’orbite de $m,$ est $\operatorname {tang} \varphi \sin(\mathrm {V} -\theta ).$ Ces arcs étant fort petits, la différence de leurs tangentes est, à très peu près, égale à la tangente de leur différence. Mais, si l’on nomme $\varphi _{1}$ l’inclinaison de l’orbite de $m$ sur le nouveau plan, et $\theta _{1}$ la longitude de son nœud ascendant sur ce même plan, les deux arcs précédents étant à fort peu près perpendiculaires à ces différents plans, la tangente de leur différence sera $\operatorname {tang} \varphi _{1}\sin(\mathrm {V} -0_{1})\,;$ on aura donc

$\operatorname {tang} \varphi _{1}\sin(\mathrm {V} -\theta _{1})=\operatorname {tang} \varphi \sin(\mathrm {V} -\theta )-\operatorname {tang} \psi \sin(\mathrm {V} -\gamma ).$

Soient

$\operatorname {tang} \psi \sin \gamma =p_{1},\qquad \operatorname {tang} \psi \cos \gamma =q_{1},$

on aura

$\operatorname {tang} \varphi _{1}\cos \theta _{1}\sin \mathrm {V} -\operatorname {tang} \varphi _{1}\sin \theta _{1}\cos \mathrm {V} =(q-q_{1})\sin \mathrm {V} -(p-p_{1})\cos \mathrm {V} ,$

ce qui donne, en comparant les coefficients de $\sin \mathrm {V}$ et de $\cos \mathrm {V} ,$

$\operatorname {tang} \varphi _{1}\sin \theta _{1}=p-p_{1},\qquad \operatorname {tang} \varphi _{1}\cos \theta _{1}=q-q_{1}.$

Cela posé, si le nouveau plan est invariable, ainsi que le plan fixe, les équations $(b)$ de l’article précédent donneront

${\begin{aligned}\mathrm {const} .=&(p-p_{1})m{\sqrt {a}}+(p'-p_{1})m'{\sqrt {a'}}+(p''-p_{1})m''{\sqrt {a''}}+\ldots ,\\\mathrm {const} .=&(q-q_{1}\,)m{\sqrt {a}}+(q'-q_{1})m'{\sqrt {a'}}+(q''-q_{1}\,)m''{\sqrt {a''}}+\ldots .\end{aligned}}$

Supposons qu’à un instant quelconque on ait

${\begin{aligned}p_{1}=&{\frac {m{\sqrt {a}}p+m'{\sqrt {a'}}p'+m''{\sqrt {a''}}p''+\ldots }{m{\sqrt {a}}+m'{\sqrt {a'}}+m''{\sqrt {a''}}+\ldots }},\\q_{1}=&{\frac {m{\sqrt {a}}q+m'{\sqrt {a'}}q'+m''{\sqrt {a''}}q''+\ldots }{m{\sqrt {a}}+m'{\sqrt {a'}}+m''{\sqrt {a''}}+\ldots }},\\\end{aligned}}$