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$\theta ,\theta ',\theta '',\ldots$ les distances moyennes de leurs nœuds ascendants à une ligne invariable prise sur ce plan.

Soient, de plus,

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {tang} \varphi \ \ \sin \theta \ \ =&p\ ,&\operatorname {tang} \varphi \ \ \cos \theta \ \ =&q,\\\operatorname {tang} \varphi '\,\sin \theta '\ =&p'\ ,&\operatorname {tang} \varphi '\,\cos \theta '\ =&q',\\\operatorname {tang} \varphi ''\sin \theta ''=&p'',\qquad &\operatorname {tang} \varphi ''\cos \theta ''=&q'',\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \end{alignedat}}$

Nommons ensuite $a,a',a'',\ldots$ les moyennes distances des planètes au Soleil, et $e,e',e'',\ldots$ les rapports des excentricités de leurs orbites à ces distances. Je suis parvenu, dans nos Mémoires pour l’année 1784 ^[1], aux trois équations suivantes :

$(a)\quad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {const} .=&m\ \ {\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}}+m'\ \ \ {\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi '}}}\\&+m''\ \ \ {\sqrt {\frac {a''\left(1-e''^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi ''}}}+\ldots ,\\\mathrm {const} .=&mp{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}}+m'p'{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi '}}}\\&+m''p''{\sqrt {\frac {a''\left(1-e''^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi ''}}}+\ldots ,\\\mathrm {const} .=&mq{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}}+m'q'{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi '}}}\\&+m''q''{\sqrt {\frac {a''\left(1-e''^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi ''}}}+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Ces équations résultent du principe de la conservation des aires ; elles ont lieu généralement quelles que soient les excentricités et les inclinaisons des orbites.

Si l’on suppose les orbites très peu excentriques et très peu inclinées au plan fixe, telles que les orbites des planètes, les deux dernières de ces équations deviendront

$(b)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {const} .=&m{\sqrt {a}}p+m'{\sqrt {a'}}p'+m''{\sqrt {a''}}p''+\ldots ,\\\mathrm {const} .=&m{\sqrt {a}}q+m'{\sqrt {a'}}q'+m''{\sqrt {a''}}q''+\ldots .\end{aligned}}\right.$

XXII.

Imaginons par le centre du Soleil un nouveau plan dont l’inclinaison sur le plan fixe soit'$\psi ,$ et dont la longitude du nœud ascendant

1. Voir, plus haut, p. 69 et 70.