La première de ces équations donnera, soit par elle-même et par ses 
différentielles prises relativement à 
soit par la comparaison des coefficients des sinus et des cosinus qu’elle renferme, 
équations différentielles du premier ordre entre 
et 
Si cette première équation ne suffisait pas pour cet objet, on aurait, recours aux suivantes.
Lorsque l’on aura ainsi déterminé les valeurs de en fonctions de 
on les substituera dans 
et, en y changeant 
en on aura la valeur de 
sans arcs de cercle, lorsque cela est possible. Si cette valeur en conservait encore, ce serait une preuve qu’ils existent dans l’intégrale rigoureuse.
XX.
Considérons maintenant un nombre quelconque 
d’équations différentielles
étant des fonctions de 
de leurs différentielles jusqu’à l’ordre 
et de sinus et de cosinus d’angles croissant proportionnellement à la variable dont la différence est supposée constante. Supposons que les intégrales approchées de ces équations soient
étant des fonctions périodiques de et renfermant les 
arbitraires 
on aura, comme dans l’article XVIII,
si les arbitraires ne multiplient point l’arc 
sous le signe des fonctions périodiques. Mais, si cet arc est multiplié par quelques-
