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Pour cela, reprenons l’équation

$y=\mathrm {X} +(t-\theta )\mathrm {Y} +(t-\theta )^{2}\mathrm {Z} +(t-\theta )^{3}\mathrm {S} +\ldots \,;$

puisque la constante $\theta$ est supposée disparaître de cette expression de $y,$ on aura l’équation identique

$(a)\quad 0={\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}-\mathrm {Y} +(t-\theta )\left({\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial \theta }}-2\mathrm {Z} \right)+(t-\theta )^{2}\left({\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \theta }}-3\mathrm {S} \right)+\ldots .$

En appliquant à cette équation le raisonnement que nous avons fait sur celle-ci,

$0=\mathrm {K+K'} t+K''t^{2}+\ldots ,$

on voit que les coefficients des puissances successives de $t-\theta$ doivent se réduire d’eux-mêmes à zéro. Les fonctions $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ ne renferment $\theta$ qu’autant qu’il est contenu dans $c,c',c'',\ldots \,;$ en sorte que, pour former les différences partielles ${\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }},{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial \theta }},{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \theta }},\ldots ,$ il suffit de faire varier $c,c',c'',\ldots$ dans ces fonctions, ce qui donne

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}=&{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial c}}{\frac {dc}{d\theta }}+{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial c'}}{\frac {dc'}{d\theta }}+{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial c''}}{\frac {dc''}{d\theta }}+\ldots ,\\\\{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial \theta }}=&{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial c}}{\frac {dc}{d\theta }}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial c'}}{\frac {dc'}{d\theta }}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial c''}}{\frac {dc''}{d\theta }}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

XVIII.

Supposons d’abord que dans les fonctions $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ aucune des arbitraires ne multiplie l’arc $t,$ sous les signes des sinus et des cosinus ; cet arc ne sera pas produit par les différences partielles ${\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }},{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial \theta }},\ldots .$ En égalant donc à zéro, dans l’équation $(a),$ les coefficients des puissances successives de $t-\theta ,$ on aura

${\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}=\mathrm {Y} ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial \theta }}=2\mathrm {Z} ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \theta }}=3\mathrm {S} ,\qquad \ldots .$

Si l’on différentie la première de ces équations $i-1$ fois relativement