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savoir les $i$ arbitraires $c,c',c'',\ldots$ et l’arbitraire $\theta ,$ cependant elle ne peut en contenir que le nombre $i$ qui soient distinctes entre elles. Il est donc nécessaire que, par un changement convenable dans les constantes $c,c',\ldots ,$ l’arbitraire $\theta$ puisse disparaître de cette seconde expression de $y,$ et qu’ainsi elle coïncide avec la première. Cette considération va nous fournir les moyens d’en faire disparaître les arcs de cercle.

Donnons à la seconde expression de $y$ la forme suivante :

$y=\mathrm {X} +(t-\theta )\mathrm {R} \,;$

puisque nous supposons que $\theta$ disparaît de $y,$ on aura ${\frac {\partial y}{\partial \theta }}=0$ et, par conséquent,

$\mathrm {R} ={\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}+(t-\theta ){\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }}.$

En différenciant successivement cette équation, on aura

${\begin{aligned}2\ {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }}\ =&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {X} }{\partial \theta ^{2}}}+(t-\theta ){\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial \theta ^{2}}},\\3{\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial \theta ^{2}}}=&{\frac {\partial ^{3}\mathrm {X} }{\partial \theta ^{3}}}+(t-\theta ){\frac {\partial ^{3}\mathrm {R} }{\partial \theta ^{3}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où il est aisé de conclure, en éliminant $\mathrm {R}$ de l’expression précédente de $y,$

$y=\mathrm {X} +(t-\theta ){\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}+{\frac {(t-\theta )^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {X} }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {(t-\theta )^{3}}{1.2.3}}{\frac {\partial ^{3}\mathrm {X} }{\partial \theta ^{3}}}+\ldots .$

$\mathrm {X}$ est fonction de $t$ et des constantes $c,c',c'',\ldots ,$ et, comme ces constantes sont fonctions de $\theta ,\ \mathrm {X}$ est une fonction de $t$ et de $\theta ,$ que nous pouvons représenter par $\varphi (t,\theta ).$ L’expression de $y$ est, par le théorème connu de Taylor, le développement de la fonction $\varphi (t,\theta +t-\theta ),$ suivant les puissances de $t-\theta \,;$ on a donc $y=\varphi (t,t)\,;$ d’où il suit que l’on aura $y$ en changeant $\theta$ en $t$ dans $X.$ Le problème se réduit ainsi à déterminer $X$ en fonction de $t$ et de $\theta ,$ par conséquent à déterminer $c,c',c'',\ldots$ en fonction de $\theta .$