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$\mathrm {K,K',K''} ,\ldots$ étant des fonctions périodiques de $t\,;$ mais, par la supposition, la valeur de $y$ satisfait à l’équation différentielle

${\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} +\alpha \mathrm {Q} ,$

on doit donc avoir identiquement

$0=\mathrm {K} +\mathrm {K} 't+\mathrm {K} ''t^{2}+\ldots .$

Si $\mathrm {K,K',K''} ,\ldots$ n’étaient pas nuls, cette équation donnerait par le retour des suites l’arc $t$ en fonction de sinus et de cosinus d’angles proportionnels à $t\,;$ en supposant $\alpha$ infiniment petit, on aurait $t$ égal à une fonction finie de sinus et de cosinus d’angles semblables, ce qui est évidemment impossible. Ainsi les fonctions $\mathrm {K,K'} ,\ldots$ sont identiquement nulles.

Maintenant, si l’arc $t$ n’est élevé qu’à la première puissance, sous les signes des sinus et des cosinus, comme cela a lieu dans la théorie des mouvements célestes, cet arc ne sera point produit par les différences successives de $y\,;$ en substituant donc la valeur précédente de $y$ dans la fonction ${\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} +\alpha \mathrm {Q} ,$ la fonction $\mathrm {K+K'} t+\ldots ,$ dans laquelle elle se transforme, ne contiendra l’arc $t,$ hors des signes périodiques, qu’au tant qu’il est déjà renfermé dans $y\,;$ ainsi, en changeant dans l’expression de $y$ l’arc $t,$ hors des signes périodiques, dans $t-\theta ,\ \theta$ étant une constante quelconque, la fonction $\mathrm {K+K'} t+\ldots$ se changera dans $\mathrm {K+K'} (t-\theta )+\ldots ,$ et, puisque cette dernière fonction est identiquement nulle, en vertu des équations identiques $\mathrm {K=0,\ K'=0} ,\ldots ,$ il en résulte que l’expression

$y=\mathrm {X} +(t-\theta )\mathrm {Y} +(t-\theta )^{2}\mathrm {Z} +\ldots$

satisfait encore à l’équation différentielle

$0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} +\alpha \mathrm {Q} .$

Quoique cette seconde valeur de $y$ semble renfermer $i+1$ arbitraires,