Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/554

une méthode très simple, fondée sur la variation des constantes arbitraires. J’ai présenté depuis cette méthode, d’une manière plus générale, dans nos Mémoires pour l’année 1777 ^[1]. On peut la généraliser encore de la manière suivante et lui donner ainsi toute l’étendue et toute la simplicité dont elle est susceptible.

Considérons l’équation différentielle de l’ordre $i$

$0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} +\alpha \mathrm {Q} ,$

$\alpha$ étant très petit, et $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étant des fonctions algébriques de $y,{\frac {dy}{dt}},$$\ldots ,{\frac {d^{i-1}y}{dt^{i-1}}},$ de sinus et de cosinus d’angles croissant proportionnellement à $t.$ Supposons que l’on ait l’intégrale complète de cette différentielle dans le cas de $\alpha =0,$ et que la valeur de $y$ donnée par cette intégrale ne renferme point l’arc $t$ ou, du moins, ne renferme qu’un nombre fini de puissances de cet arc. Supposons ensuite que, en intégrant cette équation par les méthodes ordinaires d’approximation, lorsque $\alpha$ n’est pas nul, on ait

$y=\mathrm {X} +t\mathrm {Y} +t^{2}\mathrm {Z} +t^{3}\mathrm {S} +\ldots ,$

$\mathrm {X,Y,Z,S} ,\ldots$ étant des fonctions périodiques de $t$ qui renferment les $i$ arbitraires $c,c',c'',\ldots ,$ et les puissances de $t,$ dans cette expression de $y,$ s’étendant à l’infini par les approximations successives. Il est visible que les coefficients de ces puissances décroîtront avec d’autant plus de rapidité que $\alpha$ sera plus petit ; dans la théorie des mouvements des corps célestes, $\alpha$ exprime l’ordre des forces perturbatrices relativement aux forces principales qui les animent.

Si l’on substitue la valeur précédente de $y$ dans la fonction

${\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} +\alpha \mathrm {Q} ,$

elle prendra cette forme

$\mathrm {K} +\mathrm {K} 't+\mathrm {K} ''t^{2}+\ldots ,$

1. Œuvres de Laplace, T. IX.