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Les termes de l’ordre $\alpha ^{2}$ du développement de ${\frac {n^{2}}{g}}\int \mathrm {R} ^{2}dm\left(1-\mu ^{2}\right)$ sont évidemment de l’ordre ${\frac {n^{2}}{g}}\alpha ^{2}y^{2}\,;$ en n’ayant donc égard qu’aux termes de l’ordre $\alpha ^{2}y^{2},$ qui ne sont multipliés ni par l’excentricité de la Terre, ni par la très petite fonction ${\frac {n^{2}}{g}},$ la fonction (C), divisée par $g,$ se réduira à une constante, plus à l’intégrale

$\int {\frac {\mathrm {R} ^{2}dm}{g}}\left[\alpha ^{2}\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+\alpha ^{2}\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)+\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\right)^{2}\right]\,;$

le principe de la conservation des forces vives donnera donc, en ne comparant que les termes de l’ordre $\alpha ^{2},$

$\int \mathrm {R} ^{2}dm\left[\alpha ^{2}\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+\alpha ^{2}\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)+\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\right)^{2}\right]$

$=\alpha ^{2}\mathrm {Q} -\alpha ^{2}g\int ydud\varpi \left(y-{\frac {3y''}{4\eta \rho }}\right),$

$\mathrm {Q}$ étant indépendant de $t.$

Supposons, comme ci-dessus, $y$ égal à $\mathrm {Y_{0}+Y_{1}+Y_{2}} +\ldots ,$ la condition de la masse fluide constante donnera

$\mathrm {Y} _{0}=0\,;$

on aura ensuite, par ce qui précède,

${\frac {3y''}{4\eta \rho }}={\frac {1}{\rho }}\left(\mathrm {Y_{1}+{\frac {3}{5}}Y_{2}+{\frac {3}{7}}Y_{3}} +\ldots \right),$

partant

${\begin{aligned}\int &\mathrm {R} ^{2}dm\left[\alpha ^{2}\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+\alpha ^{2}\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\right)^{2}\right]\\&=\alpha ^{2}\mathrm {Q} -\alpha ^{2}g\left[\mathrm {\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)Y_{1}^{2}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)Y_{2}^{2}+\left(1-{\frac {3}{7\rho }}\right)Y_{3}^{2}} +\ldots \right]\,;\end{aligned}}$

d’où il est aisé de conclure, comme précédemment, que la valeur de $y$ ne renferme ni arcs de cercle, ni exponentielles si $\rho$ est plus grand que l’unité.