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La première somme est évidemment une constante indépendante du temps $t.$

Pour avoir la seconde somme, nous observerons que, si la Terre était une sphère, on aurait cette somme en multipliant chaque molécule de la couche aqueuse par la masse de la Terre, que nous désignerons par $\mathrm {M} ,$ en divisant ce produit par la distance de la molécule au centre de la sphère et en ajoutant ces divers produits. Représentons par l’unité le rayon de la sphère et par $1+z$ la distance d’une molécule aqueuse à son centre, et prenons pour unité de densité celle de la mer. La masse de la molécule sera

$(1+z)^{2}dzd\mu d\varpi \,;$

en la divisant par la distance $1+z$ de la molécule au centre de la sphère, on aura

$\mathrm {M} (1+z)dzd\mu d\varpi$

pour la différentielle de la somme dont il s’agit, et, en l’intégrant depuis $z=0$ jusqu’à $z=\alpha y,$ on aura

$\alpha \mathrm {M} \int \left(y+{\frac {1}{2}}\alpha y^{2}\right)d\mu d\varpi$

pour cette somme. Mais, puisque la masse fluide est supposée constante, on doit avoir

$\int (1+z)^{2}dzd\mu d\varpi =0,$

ce qui donne, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{3},$

$0=\alpha \int \left(y+\alpha y^{2}\right)d\mu d\varpi .$

La somme précédente deviendra donc

$-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\mathrm {M} \int y^{2}d\mu d\varpi .$

Si l’on a égard à l’excentricité du sphéroïde terrestre, on aura de nouveaux termes qui seront multipliés par cette excentricité. Mais, dans l’équation que donne le principe de la conservation des forces vives.